Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 20. Геометрия окружности

Фигуры вращения состоят из семейств окружностей. Поэтому для решения более сложных задач о фигурах вращения полезно продолжить знакомство со свойствами окружностей. Этому и посвящён настоящий параграф.

20.1 Окружности и углы

Напомним, что центральный угол окружности измеряется соответствующей ему дугой окружности (рис. 169, а), а вписанный угол окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рис. 169, б).

Рис. 169

Следующая теорема содержит эти два результата как свои частные случаи.

Доказательство. Пусть вершина В угла ABC лежит внутри круга F, а точки А и С лежат на его окружности (рис. 170, а). Продолжив стороны угла В за его вершину до пересечения с окружностью круга F, получим его хорды АК и СМ (рис. 170, б). Проведём хорду AM и рассмотрим вписанные в F углы СМА и КАМ. Они измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ у на которые они опираются. Угол ABC — внешний угол треугольника АВМ. Он равен сумме углов А и М этого треугольника. Поэтому он измеряется полусуммой дуг АС и КМ.

Рис. 170

Доказательство. Пусть вершина В угла ABC лежит вне круга F, точки А и С лежат на окружности круга F и отрезки ВА и ВС пересекают её соответственно в точках К и М (рис. 171, а). Проведём хорду AM (рис. 171, б). Внешний угол AMС треугольника АВМ равен сумме углов А и В этого треугольника. Поэтому угол В равен разности углов АМС и МАК. А эти углы — вписанные в окружность круга F и измеряются соответственно половинами дуг АС и КМ, на которые они опираются. Следовательно, угол В измеряется полуразностью этих дуг.

Рис. 171

Доказательство. Пусть из точки А окружности F проведены хорда АС и касательная АВ.

Рассмотрим случай, когда угол ВАС острый (рис. 172, а). Проведём из точки А диаметр АК и проведём хорду С К (рис. 172, б). Треугольник АС К — прямоугольный. Сумма его острых углов А к К равна 90°. Так как диаметр АК перпендикулярен касательной АВ, то сумма углов ВАС и САК тоже равна 90°. Поэтому угол ВАС равен углу АКС. Угол АКС — вписанный и измеряется половиной дуги АС, на которую он опирается.

Рис. 172

Следовательно, и угол ВАС измеряется половиной дуги АС. Но эта дуга и является дугой, заключённой внутри угла ВАС. Для острого угла ВАС теорема доказана. Случаи прямого и тупого угла ВАС (рис. 173, а, б) разберите самостоятельно.

Рис. 173

20.2 Пропорциональность отрезков хорд и секущих

Рис. 174

Доказательство. Проведём хорды АС и BD (рис. 174, б). Получим два треугольника САМ и BDM. Они подобны, так как в них соответственно равны углы: ∠A = ∠D (как опирающиеся на одну и ту же дугу ВС) и ∠C = ∠B (как опирающиеся на одну и ту же дугу AD). Поэтому AM : MD = CM : MB. Из этой пропорции и следует, что AM • MB = CM • MD.

Интересно, что равенство, доказанное в теореме 23, будет верным и для двух секущих одной окружности. А секущей для окружности называется луч с началом в некоторой точке М, взятой вне окружности, который пересекает данную окружность.

Доказательство. Можно считать, что точка А лежит на отрезке MB, а точка С лежит на отрезке MD (рис. 175, а). Проведём хорды ВС и AD (рис. 175, б). Треугольники МВС и MDA подобны: у них угол М общий, а вписанные углы ABC и ADC равны как опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Записав пропорциональность их сторон, как и при доказательстве предыдущей теоремы, приходим к равенству AM • MB = CM • MD.

Рис. 175

Если представить себе, что секущий луч МС, вращаясь вокруг точки М, займёт положение луча, касающегося окружности в точке К (рис. 176), тогда окажется, что точки С и D совпадут, и получим, что СМ = MD = МК.

Рис. 176

И из равенства AM • MB = CM • MD получим равенство AM • MB = МК². Формулировать словами это равенство можно так:

Доказать эту теорему можно и рассмотрев два подобных треугольника МВК и МКА (рис. 177). Сделайте это самостоятельно.

Рис. 177

20.3 Вычисление радиусов окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него

Выведем формулы, выражающие радиусы R и r окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него. Оказывается, что диаметр 2R окружности, описанной вокруг треугольника, — это отношения, стоящие в теореме синусов, т. е.

Докажем равенство (1). Проведём через центр О окружности, описанной вокруг треугольника ABC, диаметр ВМ (рис. 178).

Рис. 178

Получим прямоугольный треугольник ВМС с гипотенузой ВМ. Тогда

Но вписанные углы А и М опираются на одну и ту же дугу ВС. Поэтому ∠A = ∠M. Так как BM = 2R и ВС = а, то из равенства (2) следует равенство (1).

Согласно равенству (1)

Если подставить это выражение для sin А в формулу для площади S = 1/2 bc sin А, то получим, что

Из формулы (3) можно найти R через стороны треугольника ABC (выразив S по формуле Герона).

Рассмотрим теперь окружность, вписанную в треугольник ABC. Пусть точка О — её центр, а г — её радиус (рис. 179).

Рис. 179

Площадь S треугольника ABC, его периметр Р = а + b + с и радиус г вписанной в него окружности связаны равенством

Рис. 180

Действительно, высоты треугольников ОВС, ОАВ и О АС, проведённые из вершины О, равны г. А сумма площадей этих треугольников равна S, Поэтому

т. е. имеет место равенство (4).

Из равенства (4) и находят радиус вписанной окружности (зная стороны треугольника).

Равенство (4) справедливо и для любого многоугольника, в который можно вписать окружность. Докажите его самостоятельно, разбив многоугольник на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности и основаниями на сторонах многоугольника (рис. 180).

Рис. 180

20.4 Вписанные и описанные четырёхугольники

Вокруг многоугольника, число сторон которого больше трёх, не всегда можно описать окружность. Например, вокруг параллелограмма можно описать окружность лишь в том случае, когда параллелограмм — прямоугольник (рис. 181).

Рис. 181

И вписать окружность в многоугольник, число сторон которого больше трёх, возможно не всегда. Например, в параллелограмм можно вписать окружность лишь тогда, когда этот параллелограмм — ромб (рис. 182).

Рис. 182

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180° (iсвойство вписанных четырёхугольников).

Действительно, пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность (рис. 183). Тогда сумма его углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, а потому равна 180°.

Рис. 183

Свойство это является характерным, т. е. справедливо и обратное ему утверждение: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то вокруг четырёхугольника можно описать окружность (признак вписанного четырёхугольника).

Пусть сумма углов А и С четырёхугольника ABCD равна 180°. Заметим, что и сумма двух других противоположных углов этого четырехугольника равна 180°, а также что четырёхугольник ABCD выпуклый (у невыпуклого четырёхугольника один из углов больше 180°). Проведём через три его вершины В, С и D окружность F и покажем, что четвёртая его вершина А также лежит на F. Допустим противное. Тогда возможны два случая:

1. А лежит внутри круга, ограниченного F (рис. 184, а);
2. А лежит вне этого круга (рис. 184, б).

Рис. 184

Рассмотрим первый случай. Продолжим тогда сторону ВА за точку А до пересечения с окружностью F в точке М и проведём хорду MD (рис. 185, а). Четырёхугольник BCDM вписан в окружность F. Как доказано, ∠C + ∠M = 180°. Но ∠A > ∠M (как внешний угол треугольника DMA), а значит, ∠A + ∠C > 180°. Получили противоречие. Следовательно, точка А не может лежать внутри круга, ограниченного окружностью F.

Рис. 185

К противоречию во втором случае придите самостоятельно (рис. 185, б). Следовательно, четырёхугольник ABCD вписан в окружность F.

Итак, для того чтобы четырёхугольник можно было вписать в окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180°.

Выясним теперь, в какие четырёхугольники можно вписать окружность.

Пусть в четырёхугольник ABCD вписана окружность F и К, L, М, N — точки касания F со сторонами АВ, ВС, CD, DA соответственно (рис. 186). Так как АК = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN, то AB + CD = BC + AD.

Рис. 186

Тем самым мы доказали, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (свойство описанного четырёхугольника).

Для выпуклых четырёхугольников свойство это является характерным, т. е. справедливо и обратное ему утверждение: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырёхугольника). Докажем это утверждение.

Пусть для выпуклого четырёхугольника ABCD выполняется равенство

AB + CD = BC + AD. (5)

Среди окружностей, касающихся сторон АВ и AD, найдётся окружность F, касающаяся ещё одной из сторон четырёхугольника ABCD и лежащая в нём. Будем считать, что F касается сторон АВ, ВС и AD (рис. 187).

Рис. 187

Покажем, что F касается и стороны CD. Допустим противное. Проведём из точки С луч р, который касается окружности F и пересекает сторону AD в точке К (рис. 188). Получим треугольник CDK. Окружность F вписана в четырёхугольник АВСК. Поэтому

АВ + СК = ВС + АК. (6)

Рис. 188

Вычитая равенство (6) из равенства (5), получаем, что CD - СК = AD - АК.

Так как AD - АК = KD, то предыдущее равенство приводит к соотношению CD = СК + KD, которое противоречит неравенству треугольника. Следовательно, окружность касается и стороны CD, т. е. вписана в четырёхугольник ABCD.

Итак, для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.