Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

Задачи к § 19

В задачах, если нет специальных оговорок, под конусом понимается конус вращения, а под усечённым конусом — усечённый конус вращения. В задачах под образующей конуса понимается образующая его поверхности.

• 19.1. В конусе радиуса R и высоты Н проводятся сечения, параллельные основанию. Выразите как функцию от х площади этих сечений, где х — расстояние от вершины конуса до этих сечений.

• 19.2. Докажите, что около конуса можно описать сферу. Это означает, что найдётся сфера, на которой лежит вершина конуса и окружность его основания. Конус в таком случае называется вписанным в сферу, а сфера — описанной около конуса. Верно ли аналогичное утверждение для усечённого конуса?
• 19.3. Докажите, что в конус можно вписать сферу. Это означает, что найдётся сфера, которая лежит в конусе, касается основания, а с боковой поверхностью конуса имеет общую окружность. Конус в этом случае называется описанным около сферы, а сфера — вписанной в конус.
• 19.4. Какой фигурой является проекция конуса на плоскость, которая параллельна:
  • а) основанию конуса;
  • б) оси конуса?

  Ответьте на эти же вопросы для усечённого конуса.

• 19.5. Какой из отрезков, соединяющих вершину конуса с точками на его основании:
  • а) самый длинный;
  • б) самый короткий;
  • в) составляет с плоскостью основания наибольший угол;
  • г) составляет с плоскостью основания наименьший угол?
• 19.6. Докажите, что все образующие поверхности конуса:
  • а) составляют с плоскостью основания равные углы;
  • б) одинаково удалены от центра основания.
• 19.7. Пусть R — радиус основания конуса, L — длина образующей его поверхности, H — его высота, D — диаметр описанного шара,
  • а) Найдите Н, если R = 2 и L = 3.
  • б) Найдите Н, если R = 1 и угол между образующими осевого сечения равен φ.
  • в) Докажите, что L² = D • H и R² = H(D - H).

  Из каждой формулы выразите диаметр шара.

• 19.8. Пусть R₁ и R₂ — радиусы оснований усечённого конуса, a L — длина образующей его поверхности. Чему равна его высота, если:
  • а) R₁ = 2R₁ = L = 1;
  • б) L = 1, а угол между образующими осевого сечения равен 60°?
• 19.9.
  • а) Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник (такой конус называется равносторонним). Докажите, что другого такого сечения у него нет. Решите аналогичную задачу для прямоугольного треугольника.
  • б) Осевое сечение конуса — тупоугольный треугольник. Докажите, что у него найдутся сечения, являющиеся прямоугольными треугольниками.

• 19.10. В конусе через его вершину проводятся всевозможные равные сечения. Докажите, что их плоскости:
  • а) одинаково удалены от центра основания конуса;
  • б) образуют равные углы с осью конуса;
  • в) образуют равные углы с плоскостью основания конуса.

  Проверьте обратные утверждения.

• 19.11. В конусе проводится сечение, параллельное основанию,
  • а) Какую часть составляет его площадь от площади основания, если оно проходит через середину оси?
  • б) Через какую точку оси оно проходит, если его площадь составляет половину площади основания?
• 19.12. Как найти радиус шара, вписанного в конус?
• 19.13. Дан шар радиуса 2. В каких границах находится площадь осевого сечения конуса, вписанного в этот шар?