Геометрия
10-11 классы

       

§ 17. Симметрия сферы и шара

Одно из самых важных свойств, которыми может обладать фигура, — это её симметричность. Само слово «симметрия» с греческого может быть переведено как «соразмерность». Симметричная фигура содержит в себе равные и однообразно расположенные части, что придаёт ей уравновешенность.

Не считая самого пространства, сфера и шар — самые симметричные фигуры. Мы будем говорить о симметрии сферы, но всё сказанное о ней распространяется на шар.

17.1 Сфера — центрально-симметричная фигур

О центральной симметрии говорилось в планиметрии. Всё сказанное там дословно повторяется в стереометрии. Напомним определения.

Точки X и X' называются симметричными относительно точки О, если О делит отрезок XX' пополам (рис. 145, а).

Рис. 145

Точка О считается симметричной сама себе (относительно О).

Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если они состоят из попарно симметричных точек (рис. 145, б).

Это значит, что для каждой точки одной фигуры симметричная ей (относительно О) точка лежит в другой фигуре.

В частности, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоторой точки О. Это значит, что для каждой её точки X точка Х', симметричная точке X относительно точки О, лежит в ней же. Точка О называется тогда центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной (рис. 145, в).

Сфера симметрична относительно своего центра, т. е. центр сферы является её центром симметрии. В самом деле, для каждой точки X сферы с центром О симметричная ей (относительно О) точка лежит на сфере — этой точкой X' будет диаметрально противоположная точка (рис. 146).

Рис. 146

17.2 Сфера — зеркально-симметричная фигура

Зеркальная симметрия в пространстве аналогична осевой симметрии на плоскости, но в определениях прямую надо заменить плоскостью.

Точки X и X' называются симметричными относительно плоскости а, если отрезок XX' перпендикулярен α и делится ею пополам (рис. 147, а). Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе (относительно α).

Рис. 147

Две фигуры называются симметричными относительно плоскости α (или зеркально-симметричными относительно α), если они состоят из попарно симметричных точек (рис. 147, б). Это значит, что для каждой точки одной фигуры симметричная ей (относительно α) точка лежит в другой фигуре.

В частности, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоторой плоскости α. Это значит, что для каждой её точки X точка X', симметричная X относительно α, лежит в ней же. Плоскость α называется тогда плоскостью симметрии фигуры, а фигура называется зеркально-симметричной (рис. 147, в).

Сфера симметрична относительно любой плоскости, проходящей через её центр (рис. 148). Это означает следующее.

Рис. 148

Пусть S — некоторая сфера радиуса R с центром в точке О и α — любая плоскость, проходящая через О. Возьмём любую точку X сферы S, не лежащую в α. Построим симметричную ей относительно а точку X'. Для этого опустим из точки X перпендикуляр XY на плоскость α и продолжим его за точку Y на отрезок YX' = XY. Прямоугольные треугольники OXY и OX'Y равны (по двум катетам). Поэтому OX’ = OX = R и точка X' ∈ S.

Итак, α — плоскость симметрии сферы S.

Симметричные тела встречаются повсюду: здания, чайники, вазы, автомобили, дома, корабли, тела животных и т. д. (рис. 149).

Рис. 149

17.3 Сфера — фигура вращения

Предметы, имеющие форму фигур вращения, постоянно встречаются в технике, искусстве, быту: тарелки, катушки, колёса, вазы и т. д. (рис. 150) — всё это реальные тела вращения.

Рис. 150

Они характеризуются тем, что при вращении вокруг оси самосовмещаются, как точильные круги, валы турбин и т. п. При этом каждая точка такой фигуры, не лежащая на оси вращения, движется по окружности с центром на оси. Поэтому такие фигуры как бы состоят из окружностей. Эти окружности имеют центры на одной прямой и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Таким свойством обладает и сфера. Её осью вращения является любая прямая, проходящая через центр сферы (рис. 151).

Рис. 151

И в общем случае фигуру вращения определим указанным свойством.

Пусть F — некоторая фигура в пространстве, а — некоторая прямая и X — любая точка фигуры F (рис. 152, а). Проведём через точку X плоскость ос, перпендикулярную прямой а. В этой плоскости построим окружность с центром на прямой а, проходящую через точку X. Если фигура F содержит каждую такую окружность, то она называется фигурой вращения с осью а. Построенные окружности называются параллелями фигуры вращения.

Рис. 152

Другим семейством плоских фигур, заполняющим фигуру вращения F, является семейство её меридианов.

Меридианы получаются в сечении фигуры F полуплоскостями, ограниченными осью фигуры F (рис. 152, б).

Все меридианы фигуры вращения F равны (рис. 152, в). Действительно, соответствующие друг другу точки этих фигур лежат на одной и той же параллели. Равенство расстояний для соответствующих пар точек следует из равенства прямоугольных трапеций.

Если представить себе, что полуплоскости, ограниченные осью вращения фигуры, поворачиваются вокруг оси, то все меридианы фигуры вращения будут совмещаться. Поэтому говорят, что фигура вращения получается в результате вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Например, меридиан сферы — полуокружность, и сфера получается вращением полуокружности вокруг диаметра. А шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какая фигура называется центрально-симметричной?
  2. Какая фигура называется зеркально-симметричной?
  3. Какая фигура называется фигурой вращения?

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru