16.1. Две сферы имеют единственную общую точку. Установите зависимость между их радиусами и расстоянием между их центрами.
16.2. В шаре с центром О провели сечение с центром Докажите, что прямая ОО1 перпендикулярна плоскости сечения.
16.3. Какой фигурой является пересечение двух сфер?
Задачи к п. 16.1
16.4. Фиксирована некоторая точка О. Какая фигура состоит из всех точек X, таких, что:
а) |ОХ| ≤ 2;
б) |ОХ| > 1;
в) 1 ≤ |ОХ| ≤ 2?
16.5. Дан шар радиуса 2. В нём проводится хорда (отрезок, соединяющий две точки сферы этого шара),
а) Чему равна её длина, если хорда удалена от центра шара на 1?
б) Чему равна длина хорды, если она видна из центра под углом 30°, 120°, φ?
в) Пусть длина хорды равна d. На каком расстоянии от центра шара она находится? Под каким углом φ она видна из центра?
16.6. Докажите, что в одном и том же шаре:
а) равные хорды равноудалены от центра (и обратно);
б) чем больше хорда, тем ближе она к центру (и обратно);
в) чем больше хорда, тем больше угол, под которым она видна из центра (и обратно).
16.7.
а) Дан шар с центром О радиуса R. Найдите расстояние от точки А до этого шара, если OA = d. Изменится ли результат, если вместо шара взять сферу?
б) Даны два шара с радиусами R1 и R2. Расстояние между их центрами равно d. Чему равно расстояние между шарами? Изменится ли результат, если вместо шаров взять сферы?
Задачи к п. 16.2
16.8. На сфере радиуса 2 провели сечение радиуса 1.
а) На каком расстоянии от центра сферы проходит его плоскость?
б) Какой угол φ составляет его плоскость с радиусом сферы, проведённым в точку сечения?
16.9. В шаре радиуса 2 провели сечение. Чему равен радиус сечения, если оно:
а) удалено от центра на 1;
б) плоскость его составляет угол 45° с радиусом, проведённым в точку сечения, лежащую на сфере?
16.10. Дан шар. Докажите, что в нём:
а) равные сечения равноудалены от центра (и обратно);
б) бблыиие сечения ближе к центру (и обратно),
в) Выясните, какую фигуру образуют центры равных сечений шара.
16.11. На сфере некоторого шара даны две точки. Через них проводятся всевозможные сечения этого шара. Какое из них имеет наибольшую площадь? А наименьшую площадь?
16.12. Из точки А сферы радиуса R выходят диаметр АВ и хорда АС длины d.
а) Чему равно | 8С|?
б) Чему равен ∠BAC?
в) Найдите расстояние от С до АВ.
16.13. Из одной точки сферы выходят равные хорды,
а) Докажите, что они образуют равные углы с диаметром, выходящим из той же точки,
б) Проверьте обратное утверждение,
в) Какую фигуру образуют другие концы всех таких хорд?
16.14. Из точки А вне шара проводятся прямые, имеющие с его сферой единственную общую точку (о таких прямых говорят, что они касаются сферы).
а) Докажите, что равны отрезки этих прямых от точки А до точки касания.
б) Какую линию на сфере образуют точки касания всех этих прямых?
16.15.
а) Шар радиуса R укладывается в круглое отверстие радиуса г. На сколько он углубится в это отверстие?
б) Решите аналогичную задачу, если шар радиуса R укладывается в щель с параллельными краями ширины d.
Задачи к п. 16.3
16.16. Шар с центром О радиуса R касается плоскости а в точке А. Точка X принадлежит плоскости α.
а) Пусть известно | ОХ |. Как вычислить | ХА | ?
б) Пусть известно | ХА |. Как вычислить | ОХ |? Как вычислить расстояние от точки X до шара?
16.17. Шар и его касательная плоскость проектируются на плоскость, проходящую через точку касания и центр шара. Как выглядит проекция? Сделайте рисунок.
16.18. Шар и две его касательные плоскости проектируются на плоскость, проходящую через точки касания и центр шара. Как выглядит проекция (для обоих возможных случаев)?
16.19. Две параллельные плоскости касаются шара радиуса Я. Чему равно расстояние между ними?
16.20. Шар радиуса R касается граней двугранного угла. Найдите расстояние от центра шара до ребра двугранного угла, если его величина равна:
а) 90°;
б) 60°;
в) φ;
г) Составьте и решите задачу, обратную задаче в);
д) Укажите способ измерения двугранного угла, ребро которого недоступно.
Задачи к п. 16.4
16.21. На сфере дана точка. Сколько можно провести через эту точку:
а) произвольных окружностей, лежащих на сфере;
б) больших окружностей данной сферы;
в) окружностей данного радиуса, лежащих на сфере?
Решите эти же задачи, если на сфере даны две точки; три точки.
16.22. Сколько общих точек могут иметь две произвольные окружности данной сферы? На сколько частей они могут разбивать сферу? А если на этой сфере расположить три окружности, то на сколько частей они разобьют сферу?
16.23. Найдите длину шестидесятой параллели Земли. Во сколько раз она длиннее такой же параллели на Луне?
16.24. Нарисуйте многогранник:
а) около которого можно описать сферу;
б) около которого нельзя описать сферу;
в) в который можно вписать сферу;
г) в который нельзя вписать сферу.
Нарисуйте многогранник с двумя свойствами из этих четырёх.
