12.1. Докажите следующие признаки параллельности прямой и плоскости (при условии, что прямая не лежит в этой плоскости). Прямая и плоскость параллельны, если:
а) существует плоскость, параллельная данным прямой и плоскости;
б) существует прямая, параллельная данным прямой и плоскости;
в) существует прямая, перпендикулярная данным прямой и плоскости;
г) существует плоскость, перпендикулярная данным прямой и плоскости.
12.2. Докажите, что параллельны:
а) противоположные грани параллелепипеда;
б) основания призмы.
Задачи к п. 12.1
12.3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки К, L, М, N — середины рёбер B1C1, C1D1, ВС, А1В1 соответственно. Будет ли прямая АА1 параллельна плоскости:
а) ВСС1;
б) BDD1;
в) BDC1;
г) KLM;
д) CKN;
е) LMN;
ж) B1DL?
12.4. Через точку К внутри ребра Р тетраэдра РАВС проведите отрезок, параллельный (ABC), в грани:
а) РАВ;
б) РАС.
Нарисуйте фигуру, которую заполнят в тетраэдре все такие отрезки. А если проводить через точку К отрезки, параллельные {РВС)?
12.5. В тетраэдре РАВС через точку К, лежащую внутри ребра АВ, проведено сечение, параллельное прямой АС. Есть ли ошибки на рисунке 108, а, б?
Рис. 108
12.6.
а) Через точку О — центр грани ABC правильного тетраэдра РАВС проводятся всевозможные прямые, параллельные плоскости РАС. Какой из отрезков этих прямых, лежащих в тетраэдре, имеет наибольшую длину? наименьшую длину?
б) Составьте и решите задачу, аналогичную задаче, данной в п. а), для правильной четырёхугольной пирамиды, у которой все рёбра равны.
12.7. Нарисуйте параллелепипед. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через одно из его рёбер. Укажите рёбра параллелепипеда, параллельные этому сечению. Установите вид этого сечения. Установите вид такого сечения в прямоугольном параллелепипеде. Может ли одно из таких сечений быть квадратом?
12.8. Дана правильная четырёхугольная пирамида,
а) Нарисуйте её сечение, содержащее ребро основания. Докажите, что оно параллельно другому ребру основания. Установите вид этого сечения.
б) Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, содержащей диагональ основания и параллельной боковому ребру. Установите вид этого сечения.
в) Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и параллельной ребру основания. Какое из таких сечений имеет наибольшую и наименьшую площадь?
Задачи к п. 11.2
12.9. Два параллелограмма ABCD и ABC1D1 не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости ВСС1 и ADD1 параллельны.
12.10. Из точки Р выходят три луча: РА, РВ, PC. На них взяты точки A1, B1, C1, причём РA1 = 1/2 РА, РБ1 = 1/2 РВ, PC1 = 1/2 PC. Докажите, что (ABC) || (А1В1С1). Как можно обобщить эту задачу? Составьте аналогичную задачу, взяв точки А1, В1 и С1 на продолжениях лучей РА, РВ, PC.
12.11. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскости A1BD и B1D1C параллельны,
б) Укажите аналогичные пары параллельных сечений параллелепипеда.
12.12. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья его сторона параллельна плоскости α.
