Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 1.30. Преобразования Галилея и их следствия

Связь координат точки в системах отсчета, движущихся друг относительно друга, описывается преобразованиями Галилея. Преобразования всех других кинематических величин являются их следствиями.

Преобразование координат

Найдем связь между координатами, проекциями скоростей и ускорений в двух системах отсчета К и К₁, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью . Для простоты будем считать, что координатные оси Х и X₁, обеих систем совпадают, а оси Y, Y₁ и Z, Z₁ параллельны друг другу. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадают.

Если в момент времени t движущаяся точка находилась в положении А (рис. 1.92), то ее положения в системах отсчета К и К₁ можно задать радиусами-векторами . Тогда . За время t начало координат системы отсчета Кх переместилось на . Поэтому предыдущее равенство примет вид:

Рис. 1.92

Запишем соотношение (1.30.1) в проекциях на ось X:

Координаты у, z и y₁, z₁ одинаковы в обеих системах отсчета. Поэтому преобразования координат при переходе от системы отсчета К₁ к системе отсчета К будут иметь вид:

Считается само собой разумеющимся, что время течет одинаково в системах отсчета К и К₁, так что t = t₁. Преобразования (1.30.1) или (1.30.3) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = t₁) называются преобразованиями Галилея.

Учитывая, что u_x = u, преобразования Галилея запишем так:

Закон сложения скоростей

Найдем теперь преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой.

При движении точки А ее радиус-вектор в системе отсчета К за малый интервал времени Δt изменится на Δ и станет равным + Δ. За то же время в системе отсчета К₁ вектор ₁ изменится на Δ₁ и станет равным 1 +Δ₁. Согласно равенству (1.30.1) эти новые векторы должны быть связаны соотношением: + Δ = ₁ + Δ₁ + (t + Δt).

Учитывая, что = Δ₁ + t, получим

Эта формула связывает перемещения Δ и Δ₁ за время Δt. Разделим правую и левую части этого равенства на Δt и будем считать, что интервал Δt сколь угодно мал (Δt -» 0). Тогда вместо (1.30.5) получим уравнение:

Но — есть мгновенная скорость точки в системе отсчета К, a — мгновенная скорость этой же точки относительно системы отсчета K₁.

Таким образом, скорости точки в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью , связаны соотношением

Преобразование скоростей (1.30.6) называется законом сложения скоростей в классической механике.

Учитывая, что при движении вдоль совпадающих осей координат X и Х₁ проекции скорости на оси Y и Z равны нулю (u_у = 0, u_x = 0), закон сложения проекций скоростей можно записать так:

Абсолютная, относительная и переносная скорости

Часто для большей наглядности и удобства используют понятия абсолютного, относительного и переносного движений(1). Для этого одну из систем координат, например XOY, считают условно неподвижной. Движение тела относительно неподвижной системы координат называют а б-солютным. Движение тела относительно подвижной системы координат (относительно X₁O₁Y₁) называют относительным. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называют переносным.

Скорость, ускорение, перемещение, путь и траекторию точки в неподвижной системе координат называют абсолютными, а в подвижной системе — относительными. В формуле (1.30.6) — абсолютная скорость (_a), ₁ — относительная скорость (_от) и — переносная скорость (_п). Теперь закон сложения скоростей (1.30.6) можно записать так:

Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Закон сложения скоростей (1.30.8) геометрически осуществляется по правилу параллелограмма (рис. 1.93, а) или треугольника (рис. 1.93, б). Он справедлив и в том случае, когда скорость _п направлена произвольным образом по отношению к системе отсчета К и меняется с течением времени.

Преобразование ускорений

Пусть в системе отсчета К₁ ускорение тела равно от. Каким оно будет в системе отсчета К?

Прежде всего договоримся, что система отсчета К₁ движется относительно системы отсчета К не вращаясь, т. е. так, что оси X, Y, Z и X₁, Y₁, Z₁ остаются параллельными. Только при этом условии будет справедлив следующий ниже вывод.

Запишем закон сложения скоростей (1.30.8) для двух моментов времени t₀ = 0 и t:

Вычтем почленно из второго уравнения первое и разделим обе части полученного равенства на интервал времени Δt:

Будем промежуток времени Δt неограниченно уменьшать (Δt —» 0) и перейдем к пределу:

Это равенство означает, что

Итак, ускорение тоже относительно. Но есть один очень важный случай, когда ускорение одинаково, абсолютно. Это случай, когда _п = 0, т. е. вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно.

Независимость расстояний от выбора системы отсчета

Из преобразований Галилея вытекает равенство расстояний между двумя точками во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Расстояние между двумя точками А и В в системе отсчета К представляет собой модуль вектора _А - _В, т. е. r_АВ = |_А - _B|. Согласно преобразованиям Галилея (1.30.1)

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

Но модуль вектора _1A - _1В есть расстояние г_1АВ между точками А и В в системе отсчета К₁ Следовательно,

так как модули равных векторов одинаковы. В координатной форме это уравнение запишется следующим образом:

Относительная скорость двух тел

Рассмотрим два тела А и В, имеющих в системе отсчета К скорости _A и _B. Найдем скорость движения _BA тела В относительно тела А. Для этого свяжем систему отсчета К₁ с телом А (рис. 1.94). Тогда искомая относительная скорость _BA есть скорость тела В относительно системы отсчета K₁.

Рис. 1.94

Воспользуемся далее законом сложения скоростей (1.30.8). Для данного случая скорость тела В относительно системы отсчета К представляет собой абсолютную скорость: _B = _a. Скорость тела А в системе отсчета К — это переносная скорость. Наконец, скорость _BA — это есть относительная скорость: _ВА = _oт. Согласно закону сложения скоростей (1.30.8) имеем

или

Скорость движения тела В относительно тела А равна разности скоростей этих двух тел. Она не зависит от системы отсчета. В любой системе отсчета, движущейся со скоростью й относительно системы отсчета К,

Отсюда

Преобразования Галилея (1.30.4) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = t₁) отражают суть классических представлений о пространстве — времени. Согласно этим представлениям расстояния между телами одинаковы во всех системах отсчета и течение времени не зависит от систем отсчета.

(1) Все эти понятия ни в коем случае не надо понимать буквально, так как никакого абсолютного движения нет. Но при использовании этих понятий формула сложения скоростей становится проще для запоминания и применения, чем использование безликих индексов у скоростей.