>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 1.22. Примеры решения задач

Большинство задач на движение тел с постоянным ускорением решается в основном так же, как и задачи на равномерное прямолинейное движение (см. § 1.9). Однако вместо одного уравнения зависимости координаты от времени теперь будет два: для координаты и для проекции скорости в зависимости от времени:

Задача 1

Конькобежец, разогнавшись до скорости v₀ = 6 м/с, начал скользить равнозамедленно. Спустя время t = 30 с модуль скорости конькобежца, движущегося прямолинейно, стал равен v = 3 м/с. Найдите ускорение конькобежца, считая его постоянным.

Решение. Совместим ось X с траекторией конькобежца. За положительное направление оси выберем направление вектора начальной скорости ₀ (рис. 1.66). Так как конькобежец движется с постоянным ускорением, то v_x = v_0x + a_xt. Отсюда а_х = , где v_x = v и v_0x = v₀, так как векторы ₀ и имеют такое же направление, что и ось X. Следовательно, а_х = , а_х = -0,1 м/с² и а = 0,1 м/с². Знак «минус» указывает, что ускорение направлено противоположно оси X.

Рис. 1.66

Задача 2

Бруску на гладкой наклонной плоскости сообщили начальную скорость v₀ = 0,4 м/с, направленную вверх. Брусок движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого а = 0,2 м/с². Найдите скорости бруска в моменты времени, равные 1, 2, 3 с от начала движения. Определите положение бруска в эти моменты времени относительно той точки, где брусок имел скорость v₀. Чему равен путь, пройденный бруском за 3 с?

Решение. Ускорение бруска направлено вниз вдоль плоскости как при его подъеме, так и при спуске.

Совместим координатную ось с траекторией движения. За положительное направление оси X примем направление вектора начальной скорости ₀. Начало координат выберем в той точке траектории, где брусок имел скорость ₀ (рис. 1.67).

Рис. 1.67

Брусок движется с постоянным ускорением, поэтому v_x = v_0x + a_xt. Так как v_0x = v₀, a_x = -а, то v_x = v₀ - at. Эта формула справедлива для любого момента времени.

Найдем проекции и модули скоростей в указанные моменты

Так как v_1x > 0, то скорость 1 направлена в ту же сторону, что и ось X. Знак «минус» у проекции v_3x указывает на то, что скорость ₃ направлена в сторону, противоположную оси X. Так и должно быть, ведь после остановки (v₂ = 0) брусок начнет скользить вниз по плоскости.

Найдем положение бруска для заданных моментов времени:

Обратите внимание на то, что в точке В с координатой 0,3 м (x₁ = х₃) (см. рис. 1.67) тело было дважды (при подъеме и спуске). В эти же моменты времени тело имело скорости, равные по модулю (v₁ = v₃), но противоположные по направлению: ₁ = -₃.

В точке А с координатой х₂ (см. рис. 1.67) скорость v₂ = 0. Здесь произошло изменение направления скорости. В момент времени t₃ = 3 с брусок находился в точке В с координатой х₃.

Следовательно, пройденный бруском путь

s = ОА + АВ = 2х₂ - х₃ = 0,5 м.

Задача 3

На рисунке 1.68, а изображен график зависимости проекции скорости точки от времени. Постройте график зависимости координаты от времени, если начальная координата х₀ = 5 м. Постройте график зависимости пути от времени.

Рис. 1.68

Решение. Сначала построим график зависимости координаты от времени. Первые 2 с точка двигалась равнозамедленно противоположно оси X (v_1x < 0). Изменение координаты Δх₁ численно равно площади треугольника ОАВ. Поэтому координата к концу 2-й секунды равна: х₁ = х₀ + Δх₁ = 5м-3м = 2м. Графиком координаты на этом интервале времени является отрезок параболы Δ₁В₁ (рис. 1.68, б). Точка В₁ — вершина этой параболы.

В следующие 2 с движение было равноускоренным в том же направлении, что и вначале (v_2x < 0). Координата к концу 4-й секунды равна х₂ = х₁ + Δх₂ = 2м - 3м = -1м. График — парабола В₁С₁.

От 4 до 6 с точка вновь двигалась равнозамедленно в прежнем направлении, поэтому х₃ = х₂ + Δх₃ = -1 м - 3 м = -4 м. График — парабола C₁D₁, где D₁ — ее вершина.

От 6 до 8 с точка двигалась равноускоренно в положительном направлении оси X (v_4x > 0). График — парабола D₁E₁. К концу 8-й секунды координата х₄ = -4 м + 3 м = -1 м. Далее точка двигалась равнозамедленно в том же направлении (v_5x > 0): х₅ = -1 м + 3 м = 2 м. График — парабола E1F1.

При построении графика пути необходимо учесть, что путь — неотрицательная величина и не может уменьшаться в процессе движения.

График состоит из отрезков парабол А₂В₂, В₂С₂, C₂D₂, D2E₂, E₂F₂ (рис. 1.68, в).

Упражнение 3

1. Небольшому кубику на гладкой наклонной плоскости сообщили начальную скорость v₀ = 8 м/с, направленную вверх. Кубик движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого а = 2 м/с². Найдите положение кубика относительно той точки плоскости, где кубику сообщена скорость ₀, в моменты времени 2, 4, 6 с от начала движения, а также скорость кубика в те же моменты времени. Чему равен путь, пройденный кубиком за 5 с?
2. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один из них с начальной скоростью 18 км/ч поднимается в гору равнозамедленно с постоянным ускорением, модуль которого 20 см/с². Другой велосипедист с начальной скоростью 5,4 км/ч спускается с горы с таким же по модулю ускорением. Через какое время они встретятся? На каком расстоянии от подножия горы произойдет встреча и какой путь пройдет каждый из них к этому моменту? Расстояние между велосипедистами в начальный момент времени было 195 м.
3. На рисунке 1.69 изображены графики I, II и III проекций скорости трех тел, движущихся прямолинейно. Охарактеризуйте особенности движения тел. Чему соответствует точка А пересечения графиков? Найдите модули ускорений тел. Запишите формулы для вычисления проекций скорости каждого тела.

   

   Рис. 1.69

4. Расстояние 20 км между двумя станциями поезд проходит со скоростью, средний модуль которой равен 72 км/ч, причем на разгон он тратит 2 мин, а затем идет с постоянной скоростью. На торможение до полной остановки поезд тратит 3 мин. Определите модуль максимальной скорости поезда.

5. Санки, скатывающиеся с горы, в первые 3 с проходят 2 м, а в последующие 3 с — 4 м. Считая движение равноускоренным, найдите модуль ускорения и модуль начальной скорости санок.
6. Тело, движущееся равноускоренно с начальной скоростью 1 м/с, приобретает, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на середине этого расстояния?
7. По прямой начинает двигаться точка с постоянным ускорением. Спустя время t₁ после начала ее движения направление ускорения точки изменяется на противоположное, оставаясь неизменным по модулю. Определите, через какое время t₂ после начала движения точка вернется в исходное положение.
8. Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, удаленное от первого на расстояние L. Она может увеличивать или уменьшать свою скорость только с одинаковым по модулю ускорением, равным а. Кроме того, она может двигаться с постоянной скоростью. Какой наибольшей по модулю скорости должна достигнуть вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше условие?
9. На рисунке 1.70 приведен график зависимости проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени. Постройте график зависимости координаты от времени, если х₀ = 4,5 м. Постройте график зависимости пути от времени.

Рис. 1.70