Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 9.11. Уравнение Бернулли

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме Д. Бернулли в 1738 г.

Наиболее просто уравнение Бернулли можно вывести, если применить закон сохранения механической энергии к потоку жидкости. Для движения идеальной жидкости закон сохранения применим, так как в идеальной жидкости нет сил трения(1).

Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением АВ в широкой части трубы и сечением CD в узкой части (рис. 9.41).

Рис. 9.41

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части соответственно равны S₁, p₁, v₁ а в узкой части S₂, p₂, v₂.

Если жидкость течет слева направо, то под действием сил давления ₁ и ₂ и силы тяжести выделенный объем жидкости за малое время At сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями А₁В₁ и C₁D₁. Силы давления ₁ и ₂ совершат работу

Существенно, что при стационарном течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями А₁В₁ и CD (изображен на рисунке 9.41 двойной штриховкой), остается неизменной. Все происходит так, как если бы жидкость, занимавшая объем ABB₁A₁ переместилась бы и заняла объем СDD₁С₁. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии элемента жидкости, переходящей из области АВВ₁А₁ в область CDD₁C₁. Работа внешних сил давления согласно закону сохранения энергии равна изменению энергии этого элемента. Его объем ΔV не изменяется вследствие несжимаемости жидкости.

Изменение энергии этого элемента жидкости равно:

Учитывая, что ΔE = А, получим:

Так как S₁U₁Δt = S₂v₂Δt = ΔV, то после сокращения на ΔV находим:

Откуда

Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.

В этом уравнении — плотность(2) кинетической энергии, a ρgh — плотность потенциальной энергии. Согласно уравнению Бернулли сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения потока.

Если труба горизонтальна, то h₁ = h₂ и уравнение принимает вид

Уравнение (9.11.2) показывает, что с увеличением скорости течения (v₂ > v₁) давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе, уменьшается (р₂ < р₁). Это подтверждается опытом, который был нами рассмотрен в предыдущем параграфе.

Уравнение Бернулли описывает наиболее простой случай течения жидкости: течение стационарно, а вязкостью и сжимаемостью жидкости можно пренебречь.

(1) Строго говоря, уравнение Бернулли следует выводить для достаточно узкой трубки тока. Но в идеальной жидкости вязкостью можно пренебречь и считать скорости отдельных элементов жидкости в данном сечении всего потока примерно одинаковыми.

(2) Плотность энергии жидкости — это величина, равная отношению энергии, которой обладает жидкость, к занимаемому ею объему.