Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 7.4. Теорема о движении центра масс

Теорема о движении центра масс формулируется следующим образом: центр масс твердого тела движется, так же, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе тела, под действием внешних сил, приложенных к данному телу.

Уравнение движения i-ro элемента тела массой Δm_i запишется так:

Здесь _i — внешняя сила, a — сумма внутренних сил, действующих на i-a элемент тела со стороны всех других элементов.

Запишем аналогичные уравнения для всех элементов и сложим их почленно. По третьему закону Ньютона _ik = —_ki. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю, так как в этой сумме будут встречаться только пары сил _ik + _ki = 0 при различных значениях i и k.

Следовательно, после сложения уравнений получим:

Поменяв знак суммирования и приращения Δ местами, будем иметь:

Но Δm_i_i = m_c (см. § 7.3), поэтому

Теорема доказана. Зная внешние силы _i и массу тела, мы можем определить, как движется центр масс. Но, конечно, не можем сказать, как движутся остальные точки тела.

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении все точки твердого тела движутся одинаково. Следовательно, зная движение центра масс, мы тем самым знаем, как движется все тело. Таким образом мы доказали возможность замены твердого тела материальной точкой при рассмотрении его поступательного движения.

Следствие теоремы о движении центра масс

Из теоремы о движении центра масс вытекает одно очень важное следствие.

Если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно.

Действительно, если , то согласно (7.4.2)

Если в начальный момент v_c = 0, то и в дальнейшем центр масс будет оставаться в покое.

Так, например, Мюнхгаузен, герой известной книги «Приключения барона Мюнхгаузена», в действительности не мог бы вытянуть себя из болота за косу (рис. 7.19). Сила, действующая со стороны руки, является внутренней и не в состоянии поднять центр масс барона.

Рис. 7.19

По тем же причинам неосуществим полет на Луну по проекту французского поэта Сирано де Бержерака. Бержерак предлагал периодически подбрасывать с железной тележки большой магнит. Магнит должен был якобы с каждым разом подтягивать тележку немного вверх.

Иное дело ракета. При старте ракеты в космическом пространстве центр масс системы ракета — выхлопные газы будет оставаться на месте. Ракета летит в одну сторону, а отработанные газы в противоположную.

Несколько сложнее обстоит дело при старте ракеты с поверхности Земли. В этом случае остается неизменной в инерци-альной (гелиоцентрической) системе отсчета скорость центра масс ракеты, Земли и газов (рис. 7.20). Ведь при старте огненная струя из сопла ракеты ударяет в Землю и слегка смещает ее на орбите. Именно из-за этого малого смещения Земли скорость центра масс системы ракета — Земля не меняется при выходе ракеты в космос.

Рис. 7.20

Из теоремы о движении центра масс следует, что внутренние силы не в состоянии изменить скорость центра масс. Это могут сделать только внешние силы, если их векторная сумма не равна нулю.