ФИЗИКА

§ 5.3. Изменение импульса системы тел. Закон сохранения импульса

При рассмотрении любой механической задачи мы интересуемся движением определенного числа тел. Совокупность тел, движение которой мы изучаем, называется механической системой или просто системой. Как изменяется импульс системы тел?

Изменение импульса системы тел

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. Это могут быть три звезды, испытывающие воздействие со стороны соседних космических тел. На тела системы действуют внешние силы _i (i — номер тела; например, ₂ — это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами действуют силы _ik, называемые внутренними силами (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Здесь первая буква i в индексе означает номер тела, на которое действует сила _ik, а вторая буква k означает номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основании третьего закона Ньютона

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (5.2.3):

Здесь в левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела pi = mivi за малое время Δt.

Более подробно: Δ(m_iv_i) = m_iv_iк - m_iv_iн, где v_iн — скорость в начале, a v_iк — в конце интервала времени Δt.

Сложим левые и правые части уравнений (5.3.2) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного

Действительно,

Таким образом,

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль, так как согласно формуле (5.3.1)

Поэтому изменение импульса системы тел Δ_с равно импульсу внешних сил:

Мы пришли к важному выводу: импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Уравнение (5.3.5) справедливо для любого интервала времени, если сумма внешних сил остается постоянной.

Закон сохранения импульса

Из уравнения (5.3.5) вытекает чрезвычайно важное следствие. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то равно нулю и изменение импульса системы: Δ_с = 0. Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс в начале этого интервала _с.н и в его конце _с.к один и тот же: _с.н = _с.к. Импульс системы остается неизменным, или, как говорят, сохраняется:

Закон сохранения импульса формулируется так: если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то импульс системы сохраняется. Тела могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса не изменяется. Надо только помнить, что сохраняется векторная сумма импульсов, а не сумма их модулей.

Как видно из проделанного нами вывода, закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированной. В замкнутой системе тел импульс сохраняется. Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, импульс системы все равно сохраняется.

Полученный результат легко обобщается на случай системы, содержащей произвольное число N тел:

Здесь _iн — скорости тел в начальный момент времени, a _iк — в конечный. Так как импульс — величина векторная, то уравнение (5.3.7) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульса системы на координатные оси.

Когда выполняется закон сохранения импульса?

Все реальные системы, конечно, не являются замкнутыми, сумма внешних сил довольно редко может оказаться равной нулю. Тем не менее в очень многих случаях закон сохранения импульса можно применять.

Если сумма внешних сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций сил на какое-то направление, то проекция импульса системы на это направление сохраняется. Например, система тел на Земле или вблизи ее поверхности не может быть замкнутой, так как на все тела действует сила тяжести, которая изменяет импульс по вертикали согласно уравнению (5.3.5). Однако вдоль горизонтального направления сила тяжести не может изменять импульс, и сумма проекций импульсов тел на горизонтально направленную ось будет оставаться неизменной, если действием сил сопротивления можно пренебречь.

Кроме того, при быстрых взаимодействиях (взрыв снаряда, выстрел из орудия, столкновения атомов и т. п.) изменение импульсов отдельных тел будет фактически обусловлено только внутренними силами. Импульс системы сохраняется при этом с большой точностью, ибо такие внешние силы, как сила тяготения и сила трения, зависящая от скорости, заметно не изменяет импульса системы. Они малы по сравнению с внутренними силами. Так, скорость осколков снаряда при взрыве в зависимости от калибра может изменяться в пределах 600-1000 м/с. Интервал времени, за который сила тяжести смогла бы сообщить телам такую скорость, равен

Внутренние же силы давления газов сообщают такие скорости за 0,01 с, т. е. в 10 000 раз быстрее.

Из второго и третьего законов Ньютона мы получили важнейшее следствие — закон сохранения импульса. Если сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы сохраняется. Закон сохранения импульса выполняется для любых систем — будь то космические тела, атомы или элементарные частицы.

Вопросы для самопроверки

Чему равна сумма сил, действующих между молекулами воды в стакане?
Навстречу друг другу летят с равными по модулю скоростями два одинаковых пластилиновых шарика. После столкновения шарики останавливаются. Куда деваются их импульсы?
В лежащий на столе брусок попадает пуля, летящая горизонтально, и застревает в нем. Можно ли для нахождения скорости бруска с пулей применить закон сохранения импульса, несмотря на наличие трения?

Узнать стоимость написания