|
|
>>> Перейти на мобильный размер сайта >>> Учебник для 10 класса ФИЗИКА§ 3.17. Примеры решения задачОпять решаем задачи по динамике, как и во второй главе. Новым здесь является лишь то, что мы будем теперь использовать известные зависимости сил от расстояний и скоростей. Задача 1 Свинцовый шар радиусом R = 50 см имеет внутри сферическую полость радиусом г = 5 см, центр которой находится на расстоянии d = 40 см от центра шара (рис. 3.43).
С какой силой притягивается к шару материальная точка массой m = 10 г, находящаяся на расстоянии l = 80 см от центра шара, если линия, соединяющая центры шара и полости, составляет угол α = 60° с линией, соединяющей центр шара с материальной точкой? Плотность свинца ρ = 11,3 г/см3.
Рис. 3.43 Решение. Мысленно поместим в полость свинцовый шарик таких же размеров, как и полость, тогда свинцовый шар станет сплошным. Его масса М =
Сила тяготения материальной точки и маленького шарика, помещенного в полость, равна
где m' = Сила Если искомую силу обозначить через
откуда
Рис. 3.44 Модуль искомой силы
Но для вычисления F необходимо предварительно определить s и cos β. Из треугольника АСВ по теореме косинусов имеем: s2 = d2 + l2 - 2dlcos α. Для того же треугольника на основании теоремы синусов(1) можно записать:
Отсюда
Теперь можно найти модуль искомой силы:
Заметим, что вычислительную часть задачи можно провести проще, если, пользуясь числовыми данными условия задачи, доказать, что Δ АВС прямоугольный, тогда s2 = l2 - d2, а угол β = 30°. Задача 2 Тело, размерами которого можно пренебречь, помещено внутрь тонкой однородной сферы. Докажите, что сила притяжения, действующая со стороны сферы на тело, равна нулю при любом положении тела внутри сферы. Решение. Искомая сила притяжения является векторной суммой сил притяжения, создаваемых отдельными элементами сферы. Рассмотрим малые элементы σ1 и σ2 (рис. 3.45), вырезаемые из сферы конусами с вершиной в точке А (место нахождения маленького тела), которые получаются при вращении образующей ВС вокруг оси М1М2.
Рис. 3.45 Вычислим площади Sσ1 и Sσ2 этих элементов. Предварительно введем понятие телесного угла. Внутри сферы радиусом R построим конус, вершина которого находится в центре сферы (рис. 3.46). Этот конус вырежет на сфере некоторую часть поверхности площадью S.
Рис. 3.46 Область пространства, ограниченную поверхностью конуса, называют телесным углом. Мерой телесного угла Ω. является отношение площади S к квадрату радиуса R сферы:
Чтобы вычислить площадь Sσ1 элемента σ1 который вырезан на сфере с центром в точке О конусом с вершиной в точке А, построим сферу с центром в точке А радиусом AM1. Этот конус на новой сфере вырежет элемент σ'1 площадью S'1 (рис. 3.47, а). Телесный угол, ограниченный конусом с вершиной в точке А, равен:
Отсюда
Рис. 3.47 Ввиду малости элементов σ1 и σ'1 их можно принять за плоские. Радиусы сфер ОМ1 и АМ1 являются нормалями к этим элементам. Поэтому двугранный угол(2) между элементами σ1 и σ'1 равен углу α 1 между прямыми ОМ1 и AM1 Элемент σ'1 является проекцией элемента(3) σ1 на сферу с центром в точке А. Следовательно,
откуда
Аналогично площадь элемента σ2 равна
Массы элементов σ1 и σ2 соответственно равны
где ρ — поверхностная плотность данной сферы (отношение массы сферы к ее площади); α1 = α2, так как треугольник М1ОМ2 равнобедренный. Силы притяжения, создаваемые элементами, соответственно равны
где m — масса тела, находящегося в точке А. Они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, поэтому их равнодействующая равна нулю. Проводя аналогичные рассуждения для других элементов сферы, убеждаемся, что силы притяжения ими тела попарно компенсируются. Следовательно, сила притяжения, действующая со стороны сферы на помещенное внутри нее тело, равна нулю. Заметим, что данный результат справедлив и для сферической оболочки конечной толщины, так как ее можно разбить на сколь угодно тонкие сферические оболочки, для каждой из которых справедливо доказанное выше утверждение. Задача 3 Космический корабль движется вдали от планет, так что действием на него внешних гравитационных сил можно пренебречь. С какой силой F космонавт, масса которого т, будет давить на кресло во время работы двигателя, если двигатель сообщает кораблю такое же по модулю ускорение, какое сообщает телам сила тяжести вблизи поверхности Земли? Решение. Согласно третьему закону Ньютона сила
Силу m Следовательно,
Из этого равенства видно, что космонавт действует на кресло корабля с силой, направленной в сторону, противоположную направлению ускорения (рис. 3.48). Так как а = g, то F = mg.
Рис. 3.48 Мы пришли к любопытному результату: если космический корабль движется с ускорением, равным по модулю ускорению, которое сообщает телам сила тяжести вблизи поверхности Земли, то космонавт (или какой-нибудь другой предмет, находящийся в корабле) будет действовать на корабль с силой, равной его весу на Земле. В ускоренно движущемся корабле тела начинают «весить». Ощущения космонавта будут вполне обычными. Он будет чувствовать себя как на Земле. Предметы, выпущенные из рук космонавта, будут двигаться относительно корабля так же, как если бы космонавт находился на Земле. В таком корабле все механические явления будут происходить точно так же, как на Земле. Если бы иллюминаторы в корабле были закрыты, то люди, находящиеся в нем, не могли бы определить, покоится он на Земле или движется в отсутствие сил тяготения с ускорением, равным по модулю ускорению свободного падения тел на Земле. Что же произойдет, если выключить двигатель? В этом случае корабль будет двигаться относительно инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно (а = 0) и, как это следует из формулы (3.11.4), тела перестанут действовать на корабль — перестанут весить. Наступит состояние невесомости(4). Задача 4 На диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит маленькая шайба массой m = 100 г. Шайба соединена с осью горизонтальной пружиной. Если число оборотов диска (частота вращения) не превышает n1 = 2 об/с, пружина находится в нерастянутом состоянии. Если число оборотов диска медленно увеличивается до n2 = 5 об/с, то пружина удлиняется вдвое. Определите коэффициент упругости (жесткость) пружины k. Решение. При частоте вращения диска n1 на шайбу действуют три силы: сила тяжести m
где l — длина нерастянутой пружины.
Рис. 3.49 Уравнение движения шайбы в этом случае имеет вид
Свяжем систему координат XOY с неподвижной осью диска (см. рис. 3.49, а). Спроецировав векторы, входящие в уравнение (3.17.2), на оси X и У, получим:
Так как Fтр = μN, то
При частоте вращения n2 длина пружины становится равной 2l, и на шайбу будут уже действовать четыре силы (рис. 3.49, б): Уравнение движения шайбы теперь имеет такой вид:
а в проекциях на ось X:
где
Следовательно,
Из выражений (3.17.3) и (3.17.5) получим
Задача 5 Брусок массой М находится на гладкой горизонтальной поверхности, по которой он может двигаться без трения. На бруске лежит маленький кубик массой m (рис. 3.50, а). Коэффициент трения между кубиком и бруском равен μ. К кубику приложена горизонтальная сила
Рис. 3.50 Решение. Двигаясь в горизонтальном направлении, кубик увлекает за собой брусок, вследствие того что между ними есть трение. Максимальная сила, с которой кубик может действовать на брусок в направлении движения, равна максимальной силе трения покоя. Эта сила сообщает бруску ускорение На кубик действуют (рис. 3.50, б) сила тяжести m Уравнение движения кубика в проекциях на горизонтальную ось имеет вид
Учитывая, что Fтр = μN1 и N1 = mg, будем иметь:
К бруску приложены сила тяжести M Уравнение движения бруска в проекциях на горизонтальную ось имеет вид
Кубик скользит относительно бруска с ускорением а = а1 - а2. Из выражений (3.17.7) и (3.17.8) находим
Минимальное значение Fmin силы
Расстояние, равное длине бруска I, кубик проходит за время
Следовательно,
Задача 6 На внутренней поверхности сферы радиусом R, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сферы, с постоянной угловой скоростью ω, находится маленькая шайба (рис. 3.51). Считая угол а между осью вращения и радиусом О1А, проведенным из центра сферы к шайбе, известным, найдите минимальное значение коэффициента трения, при котором шайба не соскользнет вниз.
Рис. 3.51 Решение. На шайбу действуют три силы: сила тяжести m Шайба движется по окружности с центром в точке О2, расположенной в горизонтальной плоскости. Радиус окружности О2А. = Rsin a. Систему координат XOY свяжем с Землей. Ось X направим горизонтально так, чтобы в данный момент времени она совпадала с прямой АО2, проходящей через шайбу, а ось У — вертикально вверх. При равномерном вращении сферы шайба имеет лишь нормальное (центростремительное) ускорение а = ω2r = ω2Rsin a, направленное к точке О2 по радиусу окружности АО2. По второму закону Ньютона
Запишем это уравнение в проекциях на ось Y:
или
Отсюда
Уравнение движения шайбы в проекциях на ось X запишется так:
Учитывая найденное выражение для модуля силы
Отсюда
Если ω2Rcos α > g, то μ ≤ 0. Это значит, что при достаточно большой угловой скорости вращения сферы Задача 7 Стеклянный шарик, радиус которого r = 2,0 мм, падает в растворе глицерина. Определите установившуюся скорость и начальное ускорение шарика. Плотности стекла и раствора глицерина равны соответственно ρ = 2,53 • 103 кг/м3 и ρ0 = 1,21 • 103 кг/м3. Считать, что при движении шарика в растворе глицерина на него со стороны раствора действует сила сопротивления Решение. Уравнение движения шарика, падающего в растворе глицерина, в проекциях на вертикальную ось имеет вид
где m = После подстановки в уравнение (3.17.10) значений входящих величин получим
Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:
Начальное ускорение получим из уравнения движения (3.17.11), полагая скорость равной нулю:
Упражнение 8
(1) cos β можно также найти, применяя теорему косинусов для стороны АВ треугольника АВС. (2) Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 3.47, б). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая АВ — ребром двугранного угла. Мерой двугранного угла является его линейный угол COD (СО ⊥ AB, DO ⊥ AB). (3) Если каждую точку фигуры, расположенной в одной грани двугранного угла (например, прямоугольника AMNB), спроецировать на другую грань, то на этой грани получится фигура AM1N1B, называемая проекцией первой фигуры на вторую грань. Легко видеть, что площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между ними. (4) Гравитационным взаимодействием между кораблем и телами, находящимися на корабле, а также между самими телами ввиду их малости можно пренебречь.
|
|
|