|
|
|
Учебник для 10 класса ФИЗИКА
§ 2.10. Численное решение уравнений движения в механике
Задачи динамики решаются просто, если все силы, действующие на тело при его движении, остаются постоянными. Однако вычисления значительно усложняются, если силы, действующие на тело, изменяются в процессе его движения. Ведь в таких случаях, чтобы найти новое положение тела, нужно знать скорость тела в течение всего времени его движения. Скорость, в свою очередь, зависит от ускорения. Но чтобы найти ускорение, нужно знать положение тела и его скорость. Выход из этого круга был найден самим Ньютоном. Он предложил приближенный численный метод, пригодный для решения любой задачи механики. С некоторыми уточнениями этот метод широко используется в современной науке и технике. В частности, при помощи него рассчитывается движение планет и их естественных и искусственных спутников, космических кораблей и т. д. Чтобы понять, как делаются подобные расчеты, рассмотрим прямолинейное движение тела, на которое действует сила, зависящая от координаты этого тела. Такая сила действует, например, со стороны пружины на тело, закрепленное на ее конце (рис. 2.26).
Рис. 2.26 Если начало отсчета совместить с концом недеформирован-ной пружины, к которому прикреплено тело, то сила упругости, действующая на тело (точнее, ее проекция на ось X), линейно зависит от его координаты х, т. е.
О линейной зависимости силы упругости от деформации говорилось в § 2.4 и подробнее она будет рассмотрена в следующей главе. Для нас сейчас важно лишь то, что сила однозначно зависит от координаты тела. На тело массой m действует сила упругости, проекция Fx которой определяется выражением (2.10.1). Из второго закона Ньютона
следует, что ускорение тела равно
Пусть в момент времени t0, принимаемый за начальный, тело имело координату х0 и скорость v0x. За малый промежуток времени Δt = t1 - t0 (например, 0,1 с, 0,01 сит. д.) скорость тела изменяется очень мало. Ее приближенно можно считать постоянной и для вычисления координаты х1 тела к концу промежутка времени Δt, т. е. к моменту времени t1, можно воспользоваться уравнением координаты равномерного движения:
Согласно формуле (2.10.3) ускорение тела зависит от его координаты. Но при малом значении Δt координата тела будет мало отличаться от значения начальной координаты х0. Поэтому в течение всего промежутка времени Δt ускорение можно приближенно считать постоянным и принять его равным начальному значению, т. е.
Тогда скорость v1x тела к концу промежутка времени Δt можно вычислить по формуле
Итак, к концу промежутка времени Δt, т. е. в момент времени t1, мы имеем новые значения х1 и v1x координаты тела и его скорости. Эти данные можно принять за начальные для следующего такого же промежутка времени Δt = t2 - t1 и точно таким же образом вычислить значения х2 и v2x, которые соответствуют концу второго промежутка времени, т. е. моменту времени t2. При этом для вычисления х2 вместо х0 и v0x следует взять х1 и v1x, а для вычисления v2x вместо v0x и а0х соответственно v1x и а1х. В свою очередь, а1х получается подстановкой в формулу (2.10.3) не х0, a x1 т. е.
Подобные расчеты можно продолжить для последующих промежутков времени Δt, пока не будет перекрыто все то время, в течение которого мы интересуемся движением. Конечно, такой расчет является приближенным. Мы ведь для каждого промежутка времени заменяем движение с переменным ускорением на движение с постоянным ускорением. Можно, однако, полагать, что при уменьшении Δt точность результатов возрастает. Доказательство этого составляет предмет высшей математики, основы которой заложил Ньютон. Следует иметь в виду, что на практике уменьшение промежутков времени Δt приводит к увеличению числа этих промежутков или, как говорят, к увеличению числа шагов, необходимого для перекрытия всего времени, в течение которого мы рассматриваем движение. В результате трудоемкость вычислений может оказаться очень значительной. Поэтому большое значение имеют приемы, позволяющие достигнуть достаточной точности за меньшее число шагов. Приведем простейший из этих приемов. Скорость и ускорение тела изменяются непрерывно в течение каждого из промежутков времени Δt — в конце промежутка они не те, что были в начале. Поэтому в формулах (2.10.4) и (2.10.5) следовало бы использовать значения скорости и ускорения не в начале промежутка Δt = t1 - t0, а в его середине. Это можно сделать, вычислив предварительно значения координаты и скорости по этим нее формулам, но вместо Δt взяв Таблица 3
Все вычисления очень просты и единообразны, но в то же время трудоемки. До появления электронно-вычислительной техники для вычисления некоторых особенностей движения небесных тел зачастую тратились месяцы и годы. При помощи компьютера подобные вычисления проводятся за несколько минут. Результат нескольких шагов расчета, выданный на экране дисплея, показан на рисунке 2.27.
Рис. 2.27 Этот метод легко может быть распространен на криволинейное движение. Например, если движение тела (материальной точки) происходит все время в одной плоскости и для описания этого движения используются координаты х и у, то к таблице 3 добавляются еще столбцы для соответствующих значений у, vy и аy. В этом случае формулы, определяющие значения ах и аy, могут включать в себя х, у, vx и vy. Наконец, если нужно исследовать движение нескольких взаимодействующих тел, то для каждого из тел составляется подобная таблица. Любую задачу динамики материальной точки можно приближенно решить с требуемой точностью. Проще всего это делается с помощью ЭВМ. (1) Вообще говоря, для вычисления х1 следовало бы применить формулу
Но при очень малых Δt, например при Δt = 0,01 с, Δt2 = 0,0001 с2, т. е. квадрат малого числа намного меньше самого числа. Поэтому последним слагаемым в формуле можно с большой степенью точности пренебречь.
|
. Значение ускорения в середине промежутка времени Δt можно найти, используя полученное значение координаты. В результате расчет одного шага производится по схеме, приведенной в таблице 3. Здесь значения, соответствующие середине промежутка времени Δt, обозначены индексом 1/2.
|
|