|
|
>>> Перейти на мобильный размер сайта >>> Учебник для 10 класса ФИЗИКА§ 1.24. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
ТраекторияПусть тело в начальный момент времени находилось на высоте h и имело скорость
Рис. 1.74 Ось Y направим вертикально вверх, а ось X — горизонтально так, чтобы векторы начальной скорости Так как тело движется с постоянным ускорением Запишем начальные условия движения тела в соответствии с выбранной системой координат: при t = 0, х0 = 0, у0 = h, v0x = v0cos a, v0y = v0sin а. Кроме того, ах = 0, ау = -g. Теперь формулы проекций скорости (1.17.3) и уравнения координат (1.19.2) примут вид:
Найдем уравнение траектории тела. Для этого из уравнений (1.24.2) исключим время. Из первого уравнения получим
Подставляя это выражение во второе уравнение (1.24.2), получим:
Из курса математики известно, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола. В нашем случае
Таким образом, траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола, проходящая через точку, из которой брошено тело. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при х2 отрицателен. Очевидно, что вершина параболы находится в наивысшей точке подъема тела (точка В на рисунке 1.74, а). Наблюдать такую траекторию можно с помощью струи воды, вытекающей под напором из трубки (рис. 1.75). Струя принимает форму параболы, так как каждая частица воды движется по параболе, подобно шарику, брошенному под углом к горизонту. В этом легко убедиться, поставив за струями экран с заранее начерченными параболами. При определенной скорости истечения воды струя будет идти вдоль начерченной параболы. Изменив скорость истечения и угол наклона трубки, можно направить струю вдоль другой параболы.
Рис. 1.75 Время подъема тела и время полетаВремя подъема нетрудно определить с помощью второго уравнения (1.24.1). В наивысшей точке подъема вектор скорости
Отсюда
Время полета тела от точки бросания до точки падения определяется вторым уравнением (1.24.2) для координаты у. В конце полета у = 0. Следовательно,
Отсюда1
Если h = 0, т. е. тело брошено с поверхности Земли (см. рис. 1.74, б), то
Время падения по нисходящей части траектории равно:
При h = 0 имеем
Сравнивая формулы (1.24.4), (1.24.6), (1.24.7), заключаем, что время подъема и время падения при h = 0 равны между собой и в 2 раза меньше времени полета. Дальность полетаНайдем горизонтальную дальность полета, т. е. длину отрезка ОА (см. рис. 1.74, б). Для этого в уравнение (1.24.2) для координаты х надо подставить время полета (1.24.5) или (1.24.6). Если h = 0, то дальность полета равна:
Очевидно, что при данном модуле v0 начальной скорости бросания тела дальность полета будет наибольшей, когда sin 2α = 1, т. е. при α = 45°. Однако при движении тела в воздухе наибольшая дальность полета достигается при несколько меньшем угле. При стрельбе из орудий нельзя пренебрегать сопротивлением воздуха, так как скорости полета снарядов велики. При таких скоростях влияние среды на движущееся тело становится особо заметным. Тело движется по несимметричной — баллистической кривой (рис. 1.76), которая в своей нисходящей ветви значительно круче параболы.
Рис. 1.76 Так, для угла α = 20° при вылете из орудия калибра 76 мм реальная дальность полета составляет 7200 м вместо 23 600 м при отсутствии сопротивления воздуха (рис. 1.77).
Рис. 1.77 Так как sin 2α = sin (π - 2α), то, положив π - 2α = 2β, найдем, что для угла β = π/2 - α sin 2α = sin 2β. Отсюда видно, что при углах бросания α и β, составляющих в сумме 90°, горизонтальная дальность полета одинакова (настильная и навесная стрельба). Полученные результаты о максимальной дальности полета и одинаковой дальности полета при углах α и β можно наблюдать с помощью водяных струй (см. рис. 1.75). Наибольшая высота подъемаНаибольшую высоту подъема можно определить из второго уравнения системы (1.24.2), подставив в него время подъема (1.24.4):
Если бросание происходит с поверхности Земли (h = 0), то
Наибольшая высота подъема пропорциональна квадрату начальной скорости и возрастает с увеличением угла бросания. Частные случаи движения тела, брошенного под углом к горизонту1. Если угол α = 0, то начальная скорость
Рис. 1.78 Но здесь имеется один любопытный момент: время полета получается таким же, как и при свободном падении тела с той же высоты при v0 = 0. Действительно, из уравнения (1.24.5) для α = 0 следует:
Этот результат совпадает с выражением для времени, полученным из формулы (1.23.2). Наглядное представление о траектории тела, брошенного горизонтально, например стального шарика, можно получить, если сфотографировать шарик, освещая его во время падения кратковременными вспышками света, следующими друг за другом через одинаковые интервалы. Полученная таким образом картина движения шарика представлена на рисунке 1.79.
Рис. 1.79 Слева для сравнения показаны положения шарика, начавшего падать вниз без начальной скорости в тот момент, когда началось движение шарика, брошенного горизонтально. Обратите внимание на то, что оба шарика в любой момент времени находятся на одной высоте. Это означает, что их координаты у меняются со временем совершенно одинаково. На изменение координаты у не оказывает никакого влияния смещение шарика в горизонтальном направлении вдоль оси X.
2. Если угол α = 90°, то вектор начальной скорости
Рис. 1.80 Данная задача полностью решается с помощью тех же уравнений (1.24.1) и (1.24.2). Но в этом случае достаточно формул для проекции скорости vy и координаты у. 3. Если угол α = 270°, то вектор начальной скорости 4. Если v0 = 0, то тело будет свободно падать с высоты h без начальной скорости (см. § 1.23). Тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе, если не учитывать сопротивление воздуха. Зная ускорение свободного падения и начальную скорость, можно вычислить дальность и время полета. 1 Так как tпол > 0, то второй отрицательный корень уравнения надо отбросить.
|
|
|