>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 1.24. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Такое движение совершают, например, футбольный мяч, артиллерийский снаряд. Если сопротивление воздуха не учитывать, то эти движения представляют собой свободное падение.

Траектория

Пусть тело в начальный момент времени находилось на высоте h и имело скорость ₀, направленную под углом α к горизонту (рис. 1.74, а).

Рис. 1.74

Ось Y направим вертикально вверх, а ось X — горизонтально так, чтобы векторы начальной скорости ₀ и ускорения свободного падения лежали в плоскости XOY.

Так как тело движется с постоянным ускорением , то для описания его движения можно воспользоваться уравнениями (1.17.3) и (1.19.2).

Запишем начальные условия движения тела в соответствии с выбранной системой координат: при t = 0, х₀ = 0, у₀ = h, v_0x = v₀cos a, v_0y = v₀sin а. Кроме того, а_х = 0, а_у = -g.

Теперь формулы проекций скорости (1.17.3) и уравнения координат (1.19.2) примут вид:

Найдем уравнение траектории тела. Для этого из уравнений (1.24.2) исключим время. Из первого уравнения получим

Подставляя это выражение во второе уравнение (1.24.2), получим:

Из курса математики известно, что графиком функции у = ах² + bх + с является парабола. В нашем случае

Таким образом, траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола, проходящая через точку, из которой брошено тело. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при х² отрицателен. Очевидно, что вершина параболы находится в наивысшей точке подъема тела (точка В на рисунке 1.74, а).

Наблюдать такую траекторию можно с помощью струи воды, вытекающей под напором из трубки (рис. 1.75). Струя принимает форму параболы, так как каждая частица воды движется по параболе, подобно шарику, брошенному под углом к горизонту. В этом легко убедиться, поставив за струями экран с заранее начерченными параболами. При определенной скорости истечения воды струя будет идти вдоль начерченной параболы. Изменив скорость истечения и угол наклона трубки, можно направить струю вдоль другой параболы.

Рис. 1.75

Время подъема тела и время полета

Время подъема нетрудно определить с помощью второго уравнения (1.24.1). В наивысшей точке подъема вектор скорости параллелен оси X и перпендикулярен оси У. Следовательно, проекция скорости на ось У равна нулю (v_y = 0). Поэтому

Отсюда

Время полета тела от точки бросания до точки падения определяется вторым уравнением (1.24.2) для координаты у. В конце полета у = 0. Следовательно,

Отсюда¹

Если h = 0, т. е. тело брошено с поверхности Земли (см. рис. 1.74, б), то

Время падения по нисходящей части траектории равно:

При h = 0 имеем

Сравнивая формулы (1.24.4), (1.24.6), (1.24.7), заключаем, что время подъема и время падения при h = 0 равны между собой и в 2 раза меньше времени полета.

Дальность полета

Найдем горизонтальную дальность полета, т. е. длину отрезка ОА (см. рис. 1.74, б). Для этого в уравнение (1.24.2) для координаты х надо подставить время полета (1.24.5) или (1.24.6). Если h = 0, то дальность полета равна:

Очевидно, что при данном модуле v₀ начальной скорости бросания тела дальность полета будет наибольшей, когда sin 2α = 1, т. е. при α = 45°.

Однако при движении тела в воздухе наибольшая дальность полета достигается при несколько меньшем угле. При стрельбе из орудий нельзя пренебрегать сопротивлением воздуха, так как скорости полета снарядов велики. При таких скоростях влияние среды на движущееся тело становится особо заметным. Тело движется по несимметричной — баллистической кривой (рис. 1.76), которая в своей нисходящей ветви значительно круче параболы.

Рис. 1.76

Так, для угла α = 20° при вылете из орудия калибра 76 мм реальная дальность полета составляет 7200 м вместо 23 600 м при отсутствии сопротивления воздуха (рис. 1.77).

Рис. 1.77

Так как sin 2α = sin (π - 2α), то, положив π - 2α = 2β, найдем, что для угла β = π/2 - α sin 2α = sin 2β. Отсюда видно, что при углах бросания α и β, составляющих в сумме 90°, горизонтальная дальность полета одинакова (настильная и навесная стрельба).

Полученные результаты о максимальной дальности полета и одинаковой дальности полета при углах α и β можно наблюдать с помощью водяных струй (см. рис. 1.75).

Наибольшая высота подъема

Наибольшую высоту подъема можно определить из второго уравнения системы (1.24.2), подставив в него время подъема (1.24.4):

Если бросание происходит с поверхности Земли (h = 0), то

Наибольшая высота подъема пропорциональна квадрату начальной скорости и возрастает с увеличением угла бросания.

Частные случаи движения тела, брошенного под углом к горизонту

1. Если угол α = 0, то начальная скорость ₀ направлена горизонтально вдоль оси X. Это случай движения тела, брошенного горизонтально (рис. 1.78). Решается эта задача с помощью уравнений (1.24.1) и (1.24.2). Траекторией является парабола с вершиной в точке бросания.

Рис. 1.78

Но здесь имеется один любопытный момент: время полета получается таким же, как и при свободном падении тела с той же высоты при v₀ = 0. Действительно, из уравнения (1.24.5) для α = 0 следует:

Этот результат совпадает с выражением для времени, полученным из формулы (1.23.2).

Наглядное представление о траектории тела, брошенного горизонтально, например стального шарика, можно получить, если сфотографировать шарик, освещая его во время падения кратковременными вспышками света, следующими друг за другом через одинаковые интервалы. Полученная таким образом картина движения шарика представлена на рисунке 1.79.

Рис. 1.79

Слева для сравнения показаны положения шарика, начавшего падать вниз без начальной скорости в тот момент, когда началось движение шарика, брошенного горизонтально. Обратите внимание на то, что оба шарика в любой момент времени находятся на одной высоте. Это означает, что их координаты у меняются со временем совершенно одинаково. На изменение координаты у не оказывает никакого влияния смещение шарика в горизонтальном направлении вдоль оси X.

2. Если угол α = 90°, то вектор начальной скорости ₀ направлен вертикально вверх (рис. 1.80). Сначала тело движется равнозамедленно вверх, достигает максимальной высоты h_мах, а затем падает вниз равноускоренно.

Рис. 1.80

Данная задача полностью решается с помощью тех же уравнений (1.24.1) и (1.24.2). Но в этом случае достаточно формул для проекции скорости v_y и координаты у.

3. Если угол α = 270°, то вектор начальной скорости ₀ направлен вертикально вниз. Тело будет свободно падать с высоты h, имея начальную скорость ₀. Движение тела происходит равноускоренно по вертикали.

4. Если v₀ = 0, то тело будет свободно падать с высоты h без начальной скорости (см. § 1.23).

Тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе, если не учитывать сопротивление воздуха. Зная ускорение свободного падения и начальную скорость, можно вычислить дальность и время полета.

¹ Так как t_пол > 0, то второй отрицательный корень уравнения надо отбросить.