Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 1.19. Зависимость координат и радиуса-вектора от времени при движении с постоянным ускорением

  • Для полного описания движения с постоянным ускорением надо решить последнюю задачу: найти зависимость координат и радиуса-вектора от времени.

Для всех видов движения координаты точки в любой момент времени можно найти по формулам (1.11.3). Запишем выражение для одной из координат движущейся точки: х = х0 + Δх. В случае движения с постоянным ускорением изменение координаты сравнительно легко можно определить с помощью графика зависимости проекции скорости от времени.

В § 1.6 мы говорили, что изменение координаты при равномерном прямолинейном движении можно найти по площади прямоугольника под графиком проекции скорости: Δх = vzt. Задача упрощалась тем, что vх = const.

При движении с постоянным ускорением проекция скорости не остается постоянной, а изменяется в зависимости от времени по линейному закону. На рисунке 1.56 изображен график зависимости vx от t для движения с постоянным ускорением, причем ах > 0 и v0x > 0.

Рис. 1.56

Покажем, что в этом случае Δх численно равно площади трапеции ОАВС.

Длина отрезка ОС численно равна времени t движения тела. Разделим его на п малых одинаковых интервалов Δt. Значения проекций скорости, соответствующих серединам этих промежутков времени, обозначим через v1x, v2x, v3x и т. д. Построим на каждом из отрезков, численно равных промежуткам времени Δt, прямоугольники, высоты которых численно равны проекциям скоростей v1x, v2x, v3x и т. д. Площади этих прямоугольников численно равны изменениям координаты Δх1, Δх2, Δх3, . . . за промежутки времени Δt, если считать, что движение в течение каждого такого промежутка является равномерным.

Нетрудно видеть, что сумма площадей всех прямоугольников равна площади трапеции ОАВС, так как площадь малого прямоугольника abcd равна площади элементарной трапеции ab'c'd.

Все прямоугольники образуют ступенчатую фигуру. Переход от одного прямоугольника к другому происходит скачкообразно, так как мы заменили истинное движение суммой равномерных движений за малые интервалы времени Δt. Чтобы это движение совпало с истинным, необходимо уменьшать промежутки времени Δt. Тогда различие между проекциями скорости аb и dc' в начале и конце отрезка времени Δt будет все меньше и меньше, и в пределе, когда Δt —» 0, ступенчатое движение не будет отличаться от истинного. Таким образом, и площадь S трапеции ОАВС численно станет равной изменению координаты Δх за время t.

Из курса математики известно, что площадь S трапеции определяется по формуле

Длины оснований ОА и ВС этой трапеции численно равны проекциям v0x и vx начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС — времени движения t точки. Следовательно,

Учитывая, что

получим:

Мы вывели эту формулу для случая, когда v0x > 0 и аx > 0. Можно показать, что она справедлива и тогда, когда одна из этих величин или обе они отрицательны. Желающих приглашаем это сделать.

Проекцию перемещения на ось У можно найти точно таким способом.

Нам известно, что движение с постоянным ускорением происходит в одной плоскости, в которой расположены векторы 0 и . Если через эти векторы провести координатную плоскость XOY, то для полного описания движения будет достаточно двух формул для зависимости координат от времени: x(t) и y(t).

Подставляя найденные значения изменения координат в формулы (1.11.3), получим выражения для координат при движении с постоянным ускорением как функции времени:

Эти формулы применимы для описания как прямолинейного движения (в этом случае целесообразно ось X направить по прямой, вдоль которой движется точка), так и криволинейного движения. Важно лишь, чтобы ускорение было постоянным.

Двум уравнениям (1.19.2) соответствует одно векторное уравнение:

Обратите внимание на то, что при помощи уравнений (1.19.2) или (1.19.3) мы можем найти только положение движущейся точки в любой момент времени, но не пройденный точкой путь. При прямолинейном движении с постоянным ускорением возможно изменение направления скорости на противоположное (например, при движении брошенного вверх тела). В таком случае надо определить, в какой точке траектории произошло изменение направления скорости. Путь находится суммированием длин отрезков траектории, пройденных телом за указанное время.

В принципе формулы (1.17.2) и (1.19.3) позволяют решить любую задачу на движение точки с постоянным ускорением.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru