>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 1.10. Векторы

• Если человек сделал шаг, то важно знать не только длину шага, но и направление, в котором шаг сделан¹. В комнате это может быть и не так существенно, но, например, в горах неверно выбранное направление одного шага может закончиться трагически. Шаг, который вы делаете, является примером перемещения (рис. 1.22). Любое механическое перемещение определяется как его длиной, так и направлением. Поэтому его можно изображать направленным отрезком прямой — вектором.

Рис. 1.22

Вектор перемещения, векторные величины

В механике вектором перемещения или просто перемещением называется направленный отрезок прямой, проведенный из начального положения движущейся точки в ее конечное положение. Длина вектора перемещения называется его модулем.

Величины, подобные перемещению, которые, кроме своего модуля, характеризуются еще направлением в пространстве, называются векторными. Но в отличие от математики, где вектор есть только математическое понятие и ничего больше, в физике вектор имеет определенный физический смысл: он обозначает какую-либо физическую величину. Поэтому к слову «вектор» мы должны добавить название этой физической величины. На рисунке 1.22 изображен вектор перемещения.

Обратите внимание: при криволинейном движении модуль перемещения не равен пути, пройденному точкой с момента времени t₁ до момента t₂ (рис. 1.23), т. е. длина кривой А₁А больше длины вектора перемещения.

Рис. 1.23

Векторной величиной является также скорость. Все векторные величины изображают направленными отрезками прямой, выбрав надлежащий масштаб при заданной единице этой величины. Как и для обычного отрезка, крайние точки вектора часто обозначают буквами (см. рис. 1.22). Однако в отличие от обычного отрезка (где А, В — концы отрезка) точка А называется началом вектора, а точка В — его концом. С помощью букв А и В вектор обозначается так: (над АВ ставится символическая стрелка, указывающая на то, что отрезок АВ — направленный).

Так же как и обычный отрезок, вектор обладает длиной, которая называется его модулем и обозначается ||. Модуль вектора так же, как и длину обычного отрезка, можно обозначать одной буквой, например || = а. Да и сам вектор можно записать тоже с помощью одной буквы: АВ = .

Радиус-вектор

Положение тела в произвольной точке А пространства (рис. 1.24) можно задать с помощью радиуса-вектора. Радиусом-вектором называется вектор, проведенный из начала системы координат (точка О) в данную точку пространства.

Рис. 1.24

Действительно, длина радиуса-вектора или его модуль || = г определяет расстояние, на котором точка А (рис. 1.24) находится от начала координат, а стрелка указывает направление на точку пространства. Следовательно, радиус-вектор указывает, на каком расстоянии и в каком направлении находится точка А пространства относительно начала выбранной системы координат.

Проекции радиуса-вектора

Проекциями радиуса-вектора = (см. рис. 1.24) на координатные оси X и У являются координаты конца этого вектора, т. е. точки А. Проекции мы будем обозначать той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом внизу, указывающим, на какую ось проецируется вектор. Так, r_x и r_y — проекции вектора на оси координат X и Y. Тогда

r_х = x, r_у = y.

Проекции, как и координаты, могут быть положительными и отрицательными.

Координаты х и у точки А полностью определяют модуль радиуса-вектора и его направление на плоскости относительно координатных осей. Действительно, по известной из геометрии теореме Пифагора имеем:

||² = (ОВ)² + (АВ)² или

Угол α между направлением вектора и осью X также определяется однозначно координатами х и у; его можно измерить, например, транспортиром. Можно также вычислить по формуле

а затем, пользуясь таблицами значений тригонометрических функций, определить сам угол.

Проекции вектора

Опустив перпендикуляры из начала и конца вектора перемещения (рис. 1.25) на оси координат X и Y, можно найти его проекции на эти оси. Проекции перемещения есть изменения координат Δх и Δу движущейся точки. Изменения координат могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Поэтому проекции перемещения на оси координат также могут быть положительными и отрицательными.

Рис. 1.25

Модуль и направление перемещения полностью определяются его проекциями на оси координат. Для модуля перемещения имеем (см. рис. 1.25):

Направление вектора определяется углом α: .

Если, напротив, известен вектор перемещения, то однозначно определяются изменения координат Δх и Δу движущейся точки.

Проекции любого вектора находятся так же, как и проекции перемещения. Но они выражаются не в единицах длины, а в тех единицах, в которых выражается модуль данной величины.

Так как понятие проекции вектора мы будем широко использовать в дальнейшем, то дадим наиболее общее определение проекции.

Направление вектора (рис. 1.26) можно задать углами α или β между вектором и положительными направлениями осей координат.

Рис. 1.26

Из рисунка видно, что модуль проекции a_х равен длине отрезка АС, а модуль проекции a_у — длине отрезка AD. Из прямоугольных треугольников ABC и ABD следует

Проекция (или компонента) любого вектора на ось равна произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси.

Формулы (1.10.1) показывают, что проекции вектора есть алгебраические величины, т. е. могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Знак проекции определяется знаком косинуса. Для острых углов cos α > 0, поэтому а_х> 0. Для тупых углов косинусы отрицательны, поэтому отрицательными являются проекции вектора на ось. Если α = 90°, то cos α = 0 и а_х = 0. Для наглядности эти случаи изображены на рисунке 1.27, а, б, в. В случае, соответствующем рисунку 1.27, б, можно записать:

а_x = acos α = -acos θ.

Скаляры

Конечно, не все величины характеризуются направлением. Число горошин в стручке, длина предмета, температура, электрический заряд и т. д. характеризуются одним числом (это число может быть положительным, отрицательным или нулем). Подобные величины принято называть скалярами.

Значения скаляров не зависят от выбранной системы отсчета.

Положение точки на плоскости и ее перемещение могут быть заданы с помощью векторов. Вектор на плоскости определяется двумя числами — проекциями на оси прямоугольной системы координат. Наоборот, задание, например, радиуса-вектора г эквивалентно заданию координат х и у, а задание вектора перемещения эквивалентно заданию изменений координат Δх и Δу движущейся точки. Модуль вектора — неотрицательное число, а проекция может быть как положительной, так и отрицательной величиной (или равной нулю).

При движении точки ее радиус-вектор меняется со временем, т. е. является функцией времени: = (t). Это выражение есть сокращенная запись двух уравнений х = x(t) и у = y(t), описывающих движение на плоскости. Вместо двух уравнений (в общем случае движения в пространстве — трех) для координат или других величин, изменяющихся со временем, можно записать одно уравнение для векторов.

Впоследствии вы сможете убедиться в преимуществе использования векторов. Использование векторов значительно облегчает описание движения, делает его более наглядным, экономным и компактным. Прямолинейное движение тоже можно описывать с помощью векторов. Однако заметных преимуществ это не дает.

1. Вектор задан на плоскости своими проекциями на оси X и У: а_х = -2 см, а_у = 0. Найдите модуль и направление вектора.
2. Вектор задан на плоскости своими проекциями на оси X и У: а_х = 2 см, а_y = 2 см. Найдите модуль и направление вектора.

¹ Для большей определенности надо следить за перемещением одной точки, например метки, сделанной мелом на носке ботинка.