|
|
Учебник для 10 класса ФИЗИКА§ 8.5. Примеры решения задачПри решении задач на статику надо использовать условия равновесия (8.2.5), причем от векторного уравнения для суммы сил следует перейти к проекциям сил на координатные оси. Иногда, впрочем, удобнее решать задачу, используя геометрическое правило сложения векторов. При записи уравнения моментов вначале надо подумать, как выбрать ось, чтобы плечи сил определялись наиболее просто и были бы равны нулю для большинства сил.
Положение центра тяжести можно определить, используя формулы (8.3.8) и (8.3.9). Применяя принцип минимума потенциальной энергии, нетрудно ответить в ряде случаев на многие вопросы, на которые дать обоснованный ответ другим способом значительно сложнее. Ряд задач на динамику твердого тела можно решить, используя условия равновесия тел, если перейти в неинерциаль-ную систему отсчета, относительно которой тело покоится. При этом в условия равновесия наряду с обычными силами должны входить силы инерции и моменты этих сил. Задача 1 Шар массой m подвешен на нити (рис. 8.24, а) и удерживается в отклоненном положении горизонтальной силой . Найдите угол а, который образует нить с вертикалью при равновесии. Чему при этом равна сила натяжения нити?
Рис. 8.24 Решение. На шар действуют три силы: сила тяжести т = m, сила и сила натяжения нити , направленная вдоль нити. По первому условию равновесия
Координатные оси направим так, как показано на рисунке 8.24, б. Так как сумма сил равна нулю, то и сумма проекций сил на обе оси координат равна нулю:
или для модулей проекций:
Откуда
Эту же задачу можно решить, используя правило сложения векторов. Так как сумма сил , m и равна нулю, то при сложении сил должен получиться треугольник. Начнем построение с известных сил. Сначала построим вектор силы mg (рис. 8.24, в). Из конца С этого вектора проведем вектор силы . Соединив конец вектора силы с точкой А, получим силовой треугольник ABC, в котором сторона АВ есть искомая сила . Из прямоугольного треугольника ABC находим:
Этот метод решения задачи оказывается более простым. Задача 2 Однородная балка длиной 2l и массой m, расположенная горизонтально, одним концом шарнирно закреплена в точке А (рис. 8.25). Другой конец балки опирается в точке В на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом α. На балке на расстоянии а от шарнира А расположен груз массой m1. Найдите силы реакции шарнира и плоскости. Трение в шарнире отсутствует.
Рис. 8.25 Решение. На балку действуют четыре силы: сила реакции наклонной плоскости , сила тяжести = m, вес груза = mr и сила реакции со стороны шарнира (см. рис. 8.25), которую мы изобразили на рисунке условно, так как направление ее неизвестно. Направим оси координат X и У так, как показано на рисунке. Поскольку балка находится в равновесии, то сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю:
Найдем плечи сил: dN = АС = 2lsin (90° - α) = 2lcos α — плечо силы , dF = AD = l — плечо силы , dP = AK = а — плечо силы . Плечо силы равно нулю, так как она приложена в шарнире и проходит через ось. С учетом знаков моментов уравнение (8.5.1) запишется так:
Отсюда
Для нахождения силы реакции шарнира воспользуемся первым условием равновесия:
Запишем это уравнение в проекциях на координатные оси X и У:
Отсюда
Модуль силы реакции шарнира равен:
С осью X вектор силы образует угол у, косинус которого определяется выражением:
Задача 3 Четыре шара массами m, 2m, Зm, 4m расположены в вершинах проволочного квадрата, сторона которого равна 1 м. Найдите положение центра тяжести D системы; массами проволок можно пренебречь. Решение. Координатные оси направим так, как показано на рисунке 8.26. Центры тяжести шаров расположены соответственно в точках О, А, В, С. Масса системы М = m + 2m + Зm + + 4m = 10m.
Рис. 8.26 Координаты центров шаров равны: х1 = О, х2 = 0, х3 = 1 м, х4 = 1 м, у1 = 0, у2 = 1 м, у3 = 1 м, у4 = 0. По формулам для координат центра тяжести имеем:
Центр тяжести системы расположен в точке D с координатами х = 0,7 м, у = 0,5 м. Задача 4 К двум гвоздям, вбитым в стену, подвешен согнутый в середине стержень и веревка, длина которой равна длине стержня (рис. 8.27). У какого из тел центр тяжести расположен ниже?
Рис. 8.27 Решение. Для ответа на этот вопрос воспользуемся принципом минимума потенциальной энергии. Мысленно натянем веревку за ее середину, так чтобы она совместилась со стержнем. В таком положении их центры тяжести совпадают. Если отпустить веревку, то она не остается в этом положении, а провиснет, т. е. перейдет из неустойчивого положения в устойчивое. Значит, потенциальная энергия веревки уменьшается, а центр тяжести опускается вниз. Итак, центр тяжести расположен ниже у веревки, чем у стержня. Задача 5 К гладкой вертикальной стене дома прислонена лестница. Угол между лестницей и горизонтальной поверхностью α = 60°. Центр тяжести лестницы находится посредине. Как направлена сила, действующая на лестницу со стороны земли? Решение. На лестницу действуют сила тяжести т, сила со стороны земли и сила реакции стены . Так как стена гладкая, сила N перпендикулярна ей (рис. 8.28). Направление силы проще всего определить, если найти положение оси, относительно которой моменты сил т и равны нулю.
Рис. 8.29 Ось должна проходить через точку пересечения прямых ОА и ОВ перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда и момент силы относительно этой оси должен быть равен нулю. Следовательно, вектор силы должен быть направлен таким образом, чтобы его продолжение прошло через точку О. Из рисунка 8.28 видно, что ΔCBD = ΔАОВ. Поэтому OB = BD. Обозначим длину отрезка CD буквой а, отрезка DB —b: CD = a, DB = b, OD = 2b. Из ΔOCD имеем:
а из ΔCDB:
Следовательно,
Отсюда
Таким образом, сила , действующая на лестницу со стороны земли, составляет с лестницей угол β ≈ 14°. Сила, действующая на лестницу со стороны земли, направлена вдоль лестницы лишь в том случае, когда все остальные силы приложены к центру тяжести лестницы или же действуют вдоль нее. Задача 6 На тележке, движущейся с ускорением, стоит кубик (рис. 8.29). За кубиком имеется небольшой выступ А, не позволяющий ему скользить по тележке. При каком ускорении а тележки кубик перевернется?
Рис. 8.29 Решение. На кубик в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой, действует сила инерции н = -m (рис. 8.30), где m — масса кубика. Эта сила приложена к центру масс кубика (см. § 8.3).
Рис. 8.30 Кубик перевернется, если момент силы инерции относительно оси, проходящей через выступ А, больше момента силы тяжести относительно этой оси:
где b — длина ребра кубика. Отсюда а > g. Решить эту задачу в инерциальной системе отсчета значительно труднее. Для этого нужно использовать законы движения твердого тела. Упражнение 15
|
|
|