Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 8.4. Виды равновесия. Устойчивость равновесия тел

Мы познакомились с условиями, при которых тело находится в равновесии. Но надо еще выяснить, от чего зависит надежность, устойчивость достигнутого состояния равновесия.

Виды равновесия

При равновесии тела равны нулю сумма внешних сил, действующих на него, и сумма моментов этих же сил относительно любой оси. Однако равновесие тела может быть различным в зависимости от распределения массы тела по объему и расположения его по отношению к окружающим телам.

Чаще всего необходимо, чтобы равновесие было устойчивым, т. е. таким, при котором после выведения тела из положения равновесия оно возвращалось в это положение.

В некоторых случаях равновесие трудно сохранить. Попробуйте, например, длительное время стоять на канате (рис. 8.10).

Рис. 8.10

В то же время кукла неваляшка (ванька-встанька) каждый раз возвращается в положение равновесия, как бы мы ее ни наклоняли (рис. 8.11).

Рис. 8.11

Трудно палку удержать на кончике пальца в вертикальном положении, но она будет в устойчивом положении, если ее повесить на руку (рис. 8.12). Когда равновесие какого-либо тела или сооружения может быть нарушено под влиянием небольших воздействий, оно называется неустойчивым. В этом случае сооружение опасно, если размеры его велики. Опасны также в горах неустойчиво лежащие камни, опасен снег на крутых склонах. Неосторожный шаг или порыв ветра могут вызвать камнепад. Снежный склон, подрезанный лыжником, может лавиной обрушиться вниз.

Рис. 8.12

Выясним на простых примерах условия устойчивого равновесия. Пусть шарик покоится на дне вогнутой сферической чаши (рис. 8.13). Сместим немного шарик из равновесия на дне вогнутой поверхности. Если шарик отпустить, то он возвращается в первоначальное положение.

Рис. 8.13

Объяснить это можно так: в отклоненном положении сила тяжести и реакция опоры не уравновешиваются и дают равнодействующую ₁ которая возвращает тело в первоначальное положение. Значит, положение шарика является устойчивым.

Сместим немного шарик из положения равновесия на выпуклой поверхности (рис. 8.14). Теперь шарик в положение равновесия не возвращается. Равнодействующая в этом случае направлена так, что она еще дальше перемещает тело от положения равновесия. В таком случае говорят, что равновесие тела является неустойчивым.

Рис. 8.14

Если смещать шарик на гладкой горизонтальной поверхности, то он остается в равновесии. Такое равновесие называется безразличным. Оно сохраняется при всех смещениях и поворотах тела (рис. 8.15).

Рис. 8.15

Мы пока говорили только о возникновении сил при смещении тела из положения равновесия. То же самое можно сказать и о возникновении моментов сил.

Рассмотрим, например, систему, изображенную в состоянии равновесия на рисунке 8.16, а, 6, в. В каждом из трех случаев суммарная сила, действующая на диск, равна нулю как до отклонения диска от положения равновесия, так и после отклонения. Но моменты сил, созданных пружинами, в первом случае (рис. 8.16, а) способствуют повороту диска назад, а во втором (рис. 8.16, б) уводят его еще дальше от равновесия. В третьем же случае (рис. 8.16, в) пружины отсутствуют и, следовательно, не возникает никакого момента сил: ни возвращающего диск в положение равновесия, ни уводящего от него.

Рис. 8.16

Принцип минимума потенциальной энергии

Обратим внимание на следующее: в устойчивом положении центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями тела. Следовательно, потенциальная энергия в устойчивом положении равновесия минимальна.

График зависимости потенциальной энергии от одной из координат центра шарика в чаше представляет собой вогнутую кривую (рис. 8.17). График такой формы принято называть «потенциальной ямой». Самая нижняя точка «ямы» соответствует положению устойчивого равновесия. Для потенциальной энергии взаимодействия тела с Землей Е_p = mgh форма «потенциальной ямы» повторяет форму той выемки, в которой находится тело. В данном случае (шарик на дне сферы) потенциальная кривая имеет форму дуги окружности.

Рис. 8.17

Наоборот, если шарик находится на вершине гладкой полусферы, то его положение неустойчиво. При небольшом смещении потенциальная энергия шарика уменьшается. Отсюда следует, что потенциальная энергия шарика в положении неустойчивого равновесия больше, чем в близлежащих точках. Кривая потенциальной энергии, повторяющая форму поверхности, на которой расположен шарик, имеет вид дуги окружности выпуклостью вверх (рис. 8.18).

Рис. 8.18

В случае безразличного равновесия при отклонении шарика не возникает никаких сил, не совершается и работа. Следовательно, неизменна и потенциальная энергия, график которой представляет собой горизонтальную прямую (рис. 8.19).

Рис. 8.19

То же самое будет для примера с диском (см. рис. 8.16). Только в данном случае под потенциальной энергией Е подразумевается энергия деформации пружин. График, выражающий зависимость потенциальной энергии от угла ф поворота диска (рис. 8.20), имеет впадину (минимум), соответствующую случаю, изображенному на рисунке 8.16, а. Та же кривая имеет и выпуклость (максимум), соответствующую повороту диска на 180° по отношению к предыдущему положению (см. рис. 8.16, б). Первое положение равновесия устойчивое, а второе неустойчивое.

Рис. 8.20

На основании всех этих фактов можно сделать следующий вывод: устойчиво то положение тела, в котором его потенциальная энергия имеет минимальное значение.

Этот принцип минимума потенциальной энергии является одним из общих принципов устойчивости равновесия различных систем.

Устойчивость равновесия тел на плоской поверхности

На практике очень важно знать, насколько устойчиво равновесие тел, опирающихся на горизонтальную или наклонную поверхность, когда на тела действует сила притяжения к Земле. Нужно быть уверенным, что, например, автомобиль не опрокинется на склоне холма (рис. 8.21). Устойчивым должен быть подъемный кран, применяемый на стройках, и т. д.

Рис. 8.21

Прежде всего выясним, в каком случае тело, опирающееся на поверхность, не упадет. Поставим на доску небольшую металлическую этажерку, к центру тяжести которой прикреплен отвес (рис. 8.22, а).

Рис. 8.22

Начнем постепенно поднимать край доски. Пока линия отвеса пересекает поверхность, ограниченную опорой, равновесие сохраняется (рис. 8.22, б). Но как только вертикаль, проходящая через центр тяжести, начнет выходить за границы поверхности опоры, этажерка опрокидывается. Дело в том, что теперь момент силы тяжести относительно оси вращения (точка А на рисунке 8.22, в) начнет поворачивать этажерку по часовой стрелке, нарушая равновесие. До этого момент силы тяжести прижимал этажерку к опоре.

Итак, для равновесия тела, стоящего на плоскости, необходимо, чтобы вертикаль, проходящая через центр тяжести тела, пересекала поверхность, ограниченную опорой(1).

Поэтому, в частности, нужно строго следить за тем, чтобы рельсы башенного крана лежали горизонтально. Даже небольшой их наклон создает угрозу падения крана.

Критерием устойчивости тела, стоящего на горизонтальной поверхности, может служить угол наклона тела, при котором оно еще не падает. Нетрудно сообразить, что допустимый угол наклона тела тем больше, чем больше площадь опоры и чем ниже расположен центр тяжести тела. Призма, лежащая на широком основании, устойчивее, чем такая же призма, стоящая на узком основании. В этом можно убедиться, если отклонить призмы от горизонтальной поверхности на один и тот же угол, при котором в первом случае вертикальная линия, проходящая через центр масс, не выходит за поверхность, ограниченную опорой (рис. 8.23, а), а во втором — выходит (рис. 8.23, б). За счет большей площади опоры и низкого расположения центра тяжести первая призма возвращается в первоначальное положение, а вторая — нет.

Рис. 8.23

Все эти факторы учитываются конструкторами машин и сооружений. Дома, фабричные трубы, автомобили, тракторы, станки, большинство предметов домашнего обихода, находясь в равновесии, опираются на некоторую площадь. Устойчивость улучшается с понижением центра тяжести и увеличением площади опоры, потому что увеличивается момент силы тяжести (см. рис. 8.23, а), возвращающий тело в первоначальное положение равновесия. Для повышения устойчивости крана его нагружают внизу бетонными плитами или используют дополнительные опоры, расстояние между колесами автомобиля или гусеницами трактора делают возможно больше и т. д.

Наклоняя тело, мы поднимаем центр тяжести и, следовательно, увеличиваем потенциальную энергию. По мере увеличения угла наклона потенциальная энергия достигает максимума и равновесие становится неустойчивым. Дальнейшее увеличение наклона вызовет уменьшение потенциальной энергии и падение тела, т. е. переход его в более устойчивое положение.

Существуют три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Устойчиво положение тела, в котором его потенциальная энергия минимальна. Устойчивость равновесия тел на плоской поверхности тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести.

Вопросы для самопроверки

Используя принцип минимума потенциальной энергии, объясните, почему ванька-встанька возвращается в положение равновесия при любом наклоне игрушки (см. рис. 8.11).

(1) Этот вывод справедлив, разумеется, и для горизонтальной поверхности.