Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 4.3. Среднее значение скорости теплового движения молекул

Прежде чем приступить к вычислению давления газа с помощью молекулярно-кинетической теории, рассмотрим детальнее простые закономерности, относящиеся к средним значениям скоростей теплового движения молекул.

Средние значения

Предположим, что молекулы газа движутся беспорядочно. Скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень маленькой. Направление движения молекул хаотически меняется при их столкновениях друг с другом. Об этом было рассказано в главе 2. Наблюдение броуновского движения служит доказательством участия молекул в хаотическом движении.

Однако, хотя движение отдельных молекул хаотично, поведение всех молекул в целом обнаруживает простые закономерности. Во-первых, если в газе произвольно выделить какое-либо направление, то среднее число молекул, движущихся в этом направлении, должно равняться среднему числу молекул, движущихся в противоположном направлении. Ведь хаос в движении молекул означает, что ни одно из направлений движения не является преимущественным. Все они равноправны.

Точно так же среднее число людей, идущих по улице города в одну и другую сторону, в среднем за достаточно большой промежуток времени (или для достаточно большой группы людей) одинаково. Конечно, если исключить особые случаи вроде уличного шествия.

Во-вторых, простые закономерности справедливы для средней арифметической скорости молекул. Пусть имеется N молекул. Проекции скоростей этих молекул на ось X могут принимать всевозможные значения: v_1x, v_2x, v_3x, ..., v_Nx, причем каждая проекция может быть как положительной, так и отрицательной. Средняя арифметическая проекции скорости _х на данное направление X равна сумме проекций скоростей всех молекул, деленной на их число:

Из-за хаоса в движении молекул положительные значения проекций скоростей встречаются столь же часто, как и отрицательные. Поэтому среднее значение проекции скорости на данное направление X равно нулю: _х = 0. Если бы это было не так, то газ двигался бы как единое целое.

Среднее же значение модуля проекции скорости |_х| является вполне определенной величиной, отличной от нуля. Поясним это таким примером. Рост учеников в одном классе неодинаков, но среднее значение роста — определенная величина. Чтобы ее найти, надо сложить рост всех учеников и разделить эту сумму на их количество (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Среднее значение квадрата скорости

Нас будет интересовать средний квадрат проекции скорости. Он находится так же, как квадрат модуля скорости (см. выражение (4.1.2)):

Скорости молекул принимают непрерывный ряд значений. Определить точные значения скоростей и вычислить среднее значение (статистическое среднее) с помощью формулы (4.3.2) практически невозможно. Определим несколько иначе, более реалистично. Обозначим через n₁ число молекул в объеме 1 см³, имеющих проекции скоростей, близкие к v_1x; через n₂ — число молекул в том же объеме, но со скоростями, близкими к v_kx, и т. д.(1) Число молекул со скоростями, близкими к максимальной v_kx, обозначим через n_k (скорость v_kx может быть сколь угодно велика). При этом должно выполняться условие n₁ + n₂ + ... + n_i + ... + n_k = n, где n — концентрация молекул. Тогда для среднего значения квадрата проекции скорости вместо формулы (4.3.2) можно написать следующую эквивалентную формулу:

Так как направление X ничем не отличается от направлений Y и Z (опять-таки из-за хаоса в движении молекул), справедливы равенства

Для каждой молекулы квадрат скорости равен

Значение среднего квадрата скорости, определяемое так же, как средний квадрат проекции скорости (см. формулы (4.3.2) и (4.3.3)), равно сумме средних квадратов ее проекций:

Из выражений (4.3.4) и (4.3.5) следует, что

т. е. средний квадрат проекции скорости равен среднего квадрата самой скорости. Множитель появляется вследствие трехмерности пространства и, значит, существования трех проекций у любого вектора.

Скорости молекул беспорядочно меняются, но среднее значение проекций скорости на любое направление и средний квадрат скорости — вполне определенные величины.

(1) О том, как эти числа могут быть определены, будет рассказано в § 4.6.