Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

  • Вычислим с помощью молекулярно-кинетической теории давление газа. На основе проделанных расчетов можно будет сделать очень важный вывод о связи температуры газа со средней кинетической энергией молекул.

Пусть газ находится в прямоугольном сосуде с твердыми стенками. Газ и сосуд имеют одинаковые температуры, т. е. находятся в состоянии теплового равновесия. Будем считать столкновения молекул со стенками абсолютно упругими. При этом условии кинетическая энергия молекул в результате столкновения не меняется.

Требование того, чтобы столкновения были абсолютно упругими, не является строго обязательным. В точности оно и не реализуется. Молекулы могут отражаться от стенки под разными углами и со скоростями, не равными по модулю скоростям до соударения. Но в среднем кинетическая энергия отраженных стенкой молекул будет равна кинетической энергии падающих молекул, если только существует тепловое равновесие. Результаты расчета не зависят от детальной картины столкновений молекул со стенкой. Поэтому вполне допустимо считать столкновения молекул подобными столкновениям упругих шаров с абсолютно гладкой твердой стенкой.

Вычислим давление газа на стенку сосуда CD, имеющую площадь S и расположенную перпендикулярно оси X (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Столкновение молекулы со стенкой

Пусть скорость v1 молекулы с номером i направлена под произвольным углом к стенке (рис. 4.4). При столкновении проекция скорости на ось X vix меняет знак, а проекции скорости на направления, совпадающие с осями У и Z, viy и viz, остаются без изменения.

Рис. 4.4

После соударения

Объясняется это тем, что при абсолютно упругом ударе отсутствуют силы, параллельные стенке. Изменение проекций импульса молекулы на ось X равно

где m0 — масса молекулы.

Согласно закону сохранения импульса стенке сосуда молекулой будет передан импульс 2m0vix. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона на стенку за время удара подействует импульс силы 2m0vix, направленный перпендикулярно стенке.

Число соударений со стенкой молекул, скорости которых близки к vix

За время Δt стенки могут достичь лишь молекулы со скоростями vix > 0, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем vixΔt (рис. 4.5). Эти молекулы движутся слева направо. Молекулы, находящиеся на больших расстояниях, не успеют долететь до стенки(1).

Рис. 4.5

Не надо думать, что значения проекций скоростей viy и viz как-то влияют на достижение молекулами стенки CD. Если молекула столкнется со стенкой ВС или АВ (см. рис. 4.5), то проекция скорости vix при этом не изменится и молекула сместится вдоль оси X по-прежнему на отрезок vixΔt.

Выделенный объем CC'DD' равен vixΔtS. Число молекул в этом объеме со скоростями, близкими к vix, составляет

где n1 — число молекул со скоростями, близкими к vix > 0, в 1 см3.

Импульс, переданный стенке молекулами со скоростями vix > 0

Переданный молекулами (их число равно Δz1) импульс равен произведению Δz1 на импульс, переданный одной молекулой (определяется по формуле (4.4.1)):

Импульс средней силы, действующий на стенку со стороны всех молекул

Молекулы со скоростями, близкими к vix, за время Δt меняют импульс стенки на . Изменение импульса стенки за время Δt всеми молекулами, столкнувшимися со стенкой, равно сумме выражений (4.4.3) по скоростям vix > 0 всех молекул:

Согласно второму закону Ньютона импульс силы FΔt, действующей на стенку, равен изменению импульса стенки:

Выразим этот импульс силы через средний квадрат проекции скорости на ось X, который согласно формуле (4.3.3) определяется так:

где суммирование осуществляется по всем проекциям скоростей, как положительным, так и отрицательным. Но положительные значения проекций скоростей встречаются столь же часто, как и отрицательные. Поэтому

или, учитывая определение среднего квадрата (4.4.6), будем иметь

Заменяя в уравнении (4.4.5) сумму по проекциям скоростей ее выражением (4.4.7), получим средний импульс силы

Этот результат можно пояснить графически. На рисунке 4.6, а изображена зависимость от времени силы f, действующей на стенку при столкновении с нею различных молекул. Время соударения δf << Δt. Сила меняется хаотически в зависимости от времени.

Рис. 4.6

Площадь под каждым пиком представляет собой импульс силы, действующей на стенку со стороны одной молекулы при соударении. Суммарная площадь под всеми пиками (ее численное значение) дает импульс силы, действующей на стенку за время Δt. Средний импульс силы FΔt графически характеризуется площадью прямоугольника (рис. 4.6, б), равной суммарной площади импульсов сил от отдельных молекул.

Давление газа

Разделив левую и правую части уравнения (4.4.8) на SΔt и учитывая соотношение (4.3.6), найдем давление газа

Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа(2).

Давление идеального газа пропорционально произведению массы молекулы на концентрацию молекул и средний квадрат их скорости.

Формула (4.4.9) связывает макроскопическую величину — давление, которое может быть измерено манометром, — с микроскопическими величинами, характеризующими молекулы, и является как бы мостом между двумя мирами: макроскопическим и микроскопическим.

Если через обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы: , то уравнение (4.4.9) можно записать в форме

Отметим в заключение, что хотя расчет произведен без явного учета столкновений молекул, это не означает, что столкновения совсем не учитывались нами. Именно огромное число столкновений приводит к тому, что движение молекул является хаотическим. Равенства (4.3.4) и (4.3.6) выполняются с большой точностью как раз вследствие громадного числа столкновений.

Нам удалось вычислить давление идеального газа на стенки сосуда. Оно зависит от концентрации молекул. Кроме того, давление газа пропорционально средней кинетической энергии молекул. Это и есть главный факт.


(1) Заметим, что столкновения молекул друг с другом не влияют на число их столкновений со стенкой. Если какая-либо молекула, у которой vix > 0, из-за столкновений не сможет достигнуть стенки, то ее место займет какая-то другая молекула. Давление определяется средним числом молекул с различными скоростями, которое не меняется в состоянии теплового равновесия при столкновениях.

(2) Это уравнение — первое количественное соотношение, полученное в молекулярно-кинетической теории. Поэтому его принято называть основным.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru