Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 3.21. Примеры решения задач

При решении задач на материал этой главы к формулам, которыми мы пользовались в предыдущих двух главах, необходимо добавить закон электролиза в форме (3.5.6) или (3.5.8). Кроме того, надо четко представлять себе природу электрического тока в различных средах.

Задача 1

Металлический прямоугольный параллелепипед (брусок), ребра которого имеют длину d, b, с (d >> с; b >> с), движется с ускорением в направлении, параллельном меньшему ребру (рис. 3.63). Найдите напряженность электрического поля, возникающего вследствие ускоренного движения металлического бруска, а также поверхностную плотность электрических зарядов на боковых гранях бруска, перпендикулярных направлению ускорения.

Рис. 3.63

Решение. При ускоренном движении бруска свободные электроны «отстают» и накапливаются на задней его грани. В результате задняя грань заряжается отрицательно, а передняя — положительно, и между этими гранями внутри бруска возникает электрическое поле.

Перераспределение свободных электронов внутри бруска закончится тогда, когда возникшее электрическое поле будет в состоянии сообщать электронам ускорение а. Напряженность поля внутри бруска при этом достигнет максимального значения.

Согласно второму закону Ньютона

где m и е — масса и заряд электрона. Отсюда

или

Поверхностную плотность электрических зарядов на передней и задней гранях найдем из формулы напряженности поля между обкладками плоского конденсатора

Отсюда

Задача 2

В электролитической ванне происходит покрытие детали никелем. Зная напряжение U между электродами, удельное сопротивление раствора электролита р, расстояние l между электродами, найдите скорость покрытия (т. е. скорость увеличения толщины h слоя никеля). Электрохимический эквивалент никеля k, плотность никеля — ρ_н.

Решение. Согласно закону электролиза

Масса никеля, выделившегося при электролизе,

где S — площадь поверхности покрываемой никелем детали.

Сила тока в растворе электролита, согласно закону Ома,

где R = ρl/S . Отсюда

Подставляя выражение для массы (3.21.2) и силы тока (3.21.3) в соотношение (3.21.1), получим:

Отсюда

Задача 3

К источнику высокого напряжения через резистор сопротивлением R = 10³ Ом подключен конденсатор емкостью С = 10^-10 Ф с расстоянием между пластинами d = 3 мм (рис. 3.64). Воздух в пространстве между пластинами конденсатора ионизуется рентгеновскими лучами так, что в 1 см³ ежесекундно образуется n = 10⁴ пар ионов. Заряд каждого иона равен по модулю заряду электрона. Найдите падение напряжения на резисторе R, считая, что все ионы достигают пластин конденсатора, не успевая рекомбинировать.

Рис. 3.64

Решение. По закону Ома искомое падение напряжения U = IR, где I — сила тока в цепи. Ток одинаков во всех сечениях внутри конденсатора. На положительную пластину этот ток обусловлен только отрицательными ионами, а на отрицательную — только положительными. Через произвольное сечение внутри конденсатора проходит некоторая доля как положительных, так и отрицательных ионов.

Сила тока I = enSd, где е — заряд электрона, а S — площадь пластин. Из формулы для емкости плоского конденсатора

находим:

Следовательно,

Задача 4

Вычислите чувствительность электронно-лучевой трубки к напряжению, т. е. значение отклонения пятна на экране, вызванного разностью потенциалов на управляющих пластинах в 1 В. Длина управляющих пластин l, расстояние между ними d, расстояние от конца пластин до экрана L и ускоряющая разность потенциалов U₀.

Решение. На рисунке 3.65 схематически изображены управляющие пластины A и В трубки, экран MN и траектория электрона ОС. Начало системы координат находится в точке О.

Рис. 3.65

При движении между пластинами в направлении оси Y электрон находится под действием силы F = e, где U — разность потенциалов между пластинами A и В. Эта сила сообщает электрону ускорение . Здесь m — масса электрона.

Расстояние l вдоль оси X электрон проходит за время t₁ = ; υ_x — проекция скорости электрона на ось X, определяемая из условия = eU₀. За время t₁ электрон отклоняется в направлении оси Y на величину

Движение электрона вне пластин происходит с постоянной скоростью в течение времени .

Проекция скорости на ось Y равна υ_у = at₁. Отклонение в области вне пластин

Полное отклонение

Чувствительность

Задача 5

Концентрация электронов проводимости в германии при комнатной температуре n_e = 3 • 10¹⁹ м^-3. Какую часть это число составляет от общего числа атомов? Плотность германия ρ = 5400 кг/м³, молярная масса германия М = 0,073 кг/моль. Во сколько раз увеличится концентрация электронов проводимости при введении в германий примеси мышьяка, составляющей по массе р = 10^-5% ? Молярные массы мышьяка и германия считать одинаковыми.

Решение. Число атомов германия определяется по формуле

Следовательно, концентрация атомов германия

Отношение концентраций

Концентрация электронов проводимости примеси мышьяка

а общая концентрация электронов проводимости

Отсюда

Концентрация электронов проводимости возросла в 150 раз.

Упражнение 7

1. Сплошной металлический цилиндр радиусом R вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найдите зависимость напряженности возникающего поля от расстояния r до оси цилиндра и разность потенциалов между поверхностью цилиндра и осью.

2. С какой частотой n следует вращать металлический диск радиусом R = 25 м (рис. 3.66), чтобы можно было обнаружить разность потенциалов между осью и краем диска, возникшую при его вращении? Чувствительность гальванометра U = 10^-5 В/дел. Отношение заряда электрона к его массе = 1,76 • 10¹¹ Кл/кг.

Рис. 3.66

3. Один полюс источника тока к электрической лампочке присоединили медным проводом, а другой полюс — алюминиевым проводом; диаметры проводов одинаковые. Сравните скорости упорядоченного движения электронов в подводящих проводах, считая, что на каждый атом приходится один электрон проводимости. Плотности алюминия и меди соответственно равны 2,7 • 10³ кг/м³ и 8,9 • 10³ кг/м³, их относительные атомные массы 27 и 64.

4. При электролизе раствора серной кислоты за время t = 50 мин выделился водород массой m = 3 • 10^-4 кг. Определите количество теплоты, выделившееся при этом в растворе электролита, если его сопротивление R = 0,4 Ом, а электрохимический эквивалент водорода k = 10^-8 кг/Кл.

5. Три электролитические ванны соединены так, как показано на рисунке 3.67. В двух из них имеется раствор AgNO₃, а в третьей — раствор CuSO₄. Сколько серебра выделилось в первой ванне, если во второй выделилось m₂ = 60,4 мг серебра, а в третьей — m₃ = 41,5 мг меди? Электрохимический эквивалент серебра k_c = 1,118 мг/Кл, меди — k_м = 0,329 мг/Кл.

Рис. 3.67

6. Чему равна масса серебра, выделившегося за 1 ч при электролизе раствора AgNO₃? Сопротивление раствора электролита 1,2 Ом, напряжение на зажимах ванны 1,5 В, а электродвижущая сила поляризации 0,8 В.

7. При электролизе положительные и отрицательные ионы непрерывно нейтрализуются на соответствующих электродах. Почему концентрация ионов в растворах электролитов поддерживается на постоянном уровне? В каких участках раствора происходит пополнение убыли ионов?

8. Полная плотность тока в растворах электролитов определяется как сумма плотностей двух токов — плотности тока положительных ионов и плотности тока отрицательных ионов:

где е — модуль заряда иона, n и υ с соответствующими индексами — концентрации и скорости положительных и отрицательных ионов. Почему же масса вещества, выделившегося, к примеру, на катоде, считается пропорциональной полной плотности тока, а не плотности тока еn₊υ₊?

9. При никелировании детали в течение 2 ч на ней отложился слой никеля толщиной d = 0,03 мм. Электрохимический эквивалент никеля k = 3 • 10^-7 кг/Кл. Плотность никеля ρ = 8,9 • 10³ кг/м³. Определите плотность тока при электролизе.

10. При электролизе за 20 мин при силе тока 2,5 А на катоде выделилось 1017 мг двухвалентного металла. Какова его относительная атомная масса?

11. Сколько пар ионов возникает ежесекундно под действием ионизатора в 1 см³ газоразрядной трубки, в которой течет ток насыщения 4 • 10^-8 мА? Площадь каждого плоского электрода равна 1 дм², а расстояние между ними 5 мм. Считать, что заряд каждого иона равен заряду электрона.

12. При какой напряженности поля начнется самостоятельный разряд в воздухе, если энергия ионизации молекул равна 2,4 • 10^-18 Дж, а средняя длина свободного пробега 4 мкм? Какова скорость электронов при столкновении с молекулой?

13. К электростатической машине подключены соединенные параллельно лейденская банка и разрядник. Сила тока электростатической машины I = 10^-5 А. Емкость лейденской банки С = 10^-8 Ф. Чтобы произошел искровой разряд, машина должна работать t = 30 с. Длительность разряда т = 10^-6 с. Определите среднюю силу разрядного тока / и напряжение зажигания искрового разряда U_з*.

* Напряжением зажигания U_з называется напряжение, при котором начинается самостоятельный разряд в газах.

14. Что произойдет с горящей электрической дугой, если сильно охладить «отрицательный» уголь; «положительный» уголь?

15. Между нитью накала, испускающей электроны, и проводящим кольцом создана разность потенциалов U (рис. 3.68). Электроны движутся ускоренно вдоль оси кольца. При этом их кинетическая энергия увеличивается, в то время как батарея, создающая разность потенциалов U, не совершает работы, так как ток в цепи не идет. (Предполагается, что электроны не попадают на кольцо.) Как это согласовать с законом сохранения энергии?

Рис. 3.68

16. Три одинаковых диода, анодные характеристики которых могут быть приближенно представлены отрезками прямых:

I_a = 0 при U_a ≤ 0, I_a = kU_a при U_a > 0,

где k = 0,12 мА/В, включены в цепь, как показано на рисунке 3.69.

Рис. 3.69

Начертите график зависимости силы тока I в цепи от напряжения U, если E₁ = 2 В, E₂ = 5 В, E₃ = 3 В, а U может меняться от —10 до +10 В.

17. Триод прямого накала включен в цепь (рис. 3.70). ЭДС анодной батареи E₁ = 80 В, батареи накала E₂ = 6 В и сеточной батареи E₃ = 2 В. С какими энергиями электроны будут достигать анода лампы? Как изменится энергия электронов, достигающих анода, если ЭДС E₃ будет изменяться по модулю или даже переменит знак? Анодный ток считать малым по сравнению с током накала.

Рис. 3.70

18. В электронно-лучевой трубке поток электронов с кинетической энергией W_k = 1,28 • 10^-15 Дж движется между вертикально отклоняющими пластинами плоского конденсатора длиной i = 4 см. Расстояние между пластинами d = 2 см, а разность потенциалов между ними U = 3,2 кВ. Найдите вертикальное смещение у электронного пучка на выходе из пространства между пластинами.

19. Пучок электронов, ускоренных в поле с разностью потенциалов U = 300 В, влетает в плоский конденсатор параллельно его пластинам; пластины расположены горизонтально. Найдите разность потенциалов U₁, приложенную к пластинам конденсатора, если пучок смещается на экране на расстояние h — 3,6 см. Длина пластин конденсатора l = 4 см, расстояние от конца конденсатора до экрана l₁ = 10 см, расстояние между пластинами конденсатора d = 1,2 см.

20. Пучок электронов влетает в конденсатор параллельно его пластинам со скоростью V₀. Конденсатор включен в цепь, как показано на рисунке 3.71. ЭДС источника тока E, его внутреннее сопротивление r, длина пластин конденсатора l и расстояние между ними d считаются известными величинами. Резистор какого сопротивления R надо подсоединить параллельно конденсатору, чтобы пучок электронов вылетел из него под углом а к пластинам?

Рис. 3.71

21. Сколько процентов (по массе) индия необходимо ввести в германий, чтобы концентрация дырок была n_In = 10²² м^-3? Концентрацию собственных свободных носителей заряда в германии считать пренебрежимо малой. Молярная масса индия M_In = 0,115 кг/моль. Плотность германия р_Ge = 5400 кг/м³.

22. Получится ли р—n-переход, если вплавить олово в германий или кремний?

23. Какая часть вольт-амперной характеристики германиевого диода (рис 3.72) отражает зависимость силы тока от напряжения в пропускном направлении? Какая — в запирающем направлении? Найдите внутреннее сопротивление диода при прямом напряжении 0,4 В и при обратном напряжении 400 В.

Рис. 3.72