Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 2.4. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводника

• Вы уже изучали закон Ома. Этот закон прост, но столь важен, что его необходимо повторить. Кроме того, установим дифференциальную форму закона Ома.

Вольт-амперная характеристика

В предыдущем параграфе было установлено, что упорядоченное движение свободных заряженных частиц в проводнике вызывается электрическим полем.

В случае постоянного тока это поле представляет собой потенциальное стационарное поле. Разность потенциалов между концами проводника определяет силу тока в нем: I = F(φ₁ - φ₂). Эта зависимость называется вольт-амперной характеристикой проводника. Установление ее играет первостепенную роль при изучении явлений, связанных с прохождением тока.

Закон Ома

Наиболее простой вид имеет вольт-амперная характеристика металлических проводников и растворов электролитов.

Впервые (для металлов) ее установил немецкий ученый Георг Ом в 1826 г., поэтому зависимость силы тока от напряжения носит название закона Ома.

Георг Ом начал свои опыты по установлению зависимости между силой тока в проводнике и разностью потенциалов на его концах в 20-х гг. XIX в. Ом экспериментировал с проволоками разной длины, разной толщины (будучи сыном слесаря, он знал, как вытягивать металлическую проволоку разной толщины для своих опытов), изготовленными из разных металлов, и даже проводил опыты при различной температуре, варьируя каждый фактор поочередно как все настоящие ученые. Батареи в те времена были еще очень слабые, они создавали непостоянный ток. Поэтому Ом пользовался в качестве источника тока термопарой*, один из спаев которой был помещен в пламя. Он использовал грубый магнитный амперметр, а разности потенциалов изменял путем изменения температуры или числа термоспаев.

Теоретические выводы и экспериментальные результаты были изложены Омом в опубликованной в 1826 г. книге. Однако они не нап1ли понимания. Метод грубого экспериментирования по заранее намеченному плану казался малопривлекательным в эпоху увлечения философией. Признание пришло лишь 23 года спустя после выхода книги. В 1849 г. Ом получил должность профессора Мюнхенского университета.

На рисунке 2.12 изображен участок цепи 1, 2. Условимся считать положительным на правление слева направо. Тогда напряжение (разность потенциалов) на рассматриваемом участке равно U = φ₁ - φ₂, где φ₁ — потенциал в точке 1 (в начале участка), а φ₂ — потенциал в точке 2 (в конце участка). Если φ₁ > φ₂, то U > 0 и ток течет в направлении от точки 1 к точке 2, так как в эту сторону направлены линии напряженности электрического поля внутри проводника. Следовательно, и сила тока I тоже положительна (I > 0).

Ом экспериментально установил прямую пропорциональную зависимость между силой тока и напряжением;

Эта зависимость справедлива как для металлов, так и для растворов (расплавов) электролитов.

Зависимость (2.4.1) можно записать в виде равенства

Это равенство и называется законом Ома для участка цепи. Здесь G — коэффициент пропорциональности, значение которого не зависит от напряжения на концах проводника и от силы тока в нем. Коэффициент пропорциональности зависит от самого проводника и поэтому является его характеристикой. Этот коэффициент называют проводимостью проводника.

Таким образом, закон Ома для участка цепи содержит проверенное на опыте утверждение о том, что сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов; одновременно он содержит определение проводимости проводника. Закон Ома можно сформулировать так: сила тока в проводнике прямопропорциональна проводимости проводника и напряжению (разности потенциалов) на его концах.

Величину, обратную проводимости проводника

называют электрическим сопротивлением или просто сопротивлением. Следовательно, сопротивление тоже является характеристикой проводника. Исторически сложилось, что именно сопротивление считается основной электрической характеристикой проводника.

Если проводимость G выразить через сопротивление , то формула (2.4.2) примет вид:

Выражение (2.4.3) представляет собой другую формулировку закона Ома для участка цепи: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению на ее участке и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка.

Следует иметь в виду, что закон Ома в форме (2.4.3) или (2.4.2) справедлив только для участка цепи, в котором нет источника тока**.

Закон Ома имеет очень простую форму, но доказать экспериментально его справедливость довольно трудно. Дело в том, что разность потенциалов на участке металлического проводника даже при большой силе тока мала, так как мало сопротивление проводника. Электрометр, о котором шла речь в § 1,21, непригоден для измерения столь малых напряжений: его чувствительность слишком мала. Нужен несравненно более чувствительный прибор, например электростатический вольтметр. Применение же обычных приборов для измерения напряжения — вольтметров — основано на использовании закона Ома. Принцип действия вольтметра такой же, как и амперметра: угол поворота стрелки прибора пропорционален силе тока. Сила тока, проходящ,его по вольтметру, согласно закону Ома, определяется напряжением между точками цепи, к которым он подключен. Поэтому, зная сопротивление вольтметра, можно по силе тока определить напряжение. На практике прибор сразу градуируют в единицах напряжения.

Закон Ома является эмпирическим, а не фундаментальным законом природы. Однако он выполняется весьма точно в широких пределах для металлов. В этом случае закон Ома практически справедлив для любых постоянных напряжений, при применении которых проводник не плавится.

Менее широки рамки применения закона Ома для растворов (и расплавов) электролитов и сильно ионизованных газов — плазмы. При больших напряжениях он перестает выполняться.

Сопротивление

Закон Ома определяет новую электрическую характеристику проводника — сопротивление. От этой величины зависит сила тока в проводнике при заданном напряжении. Сопротивление проводника представляет собой как бы меру противодействия проводника установлению в нем электрического тока. Сопротивление проводника можно определить с помощью закона Ома (2.4.3):

Сопротивление равно отношению разности потенциалов на концах проводника к силе тока в нем.

Единицы сопротивления

В абсолютной системе единиц за единицу сопротивления принимают сопротивление проводника, в котором при напряжении на его концах в одну электростатическую единицу напряжения сила тока равна одной электростатической единице силы тока:

Единицей сопротивления в СИ является Ом. 1 Ом — сопротивление проводника, в котором при напряжении на его концах в 1 В сила тока в нем равна 1 А.

Заметим, что термин «сопротивление» употребляют в двух смыслах:

во-первых, электрическое сопротивление — это величина, определяющая силу тока при заданном напряжении. В этом смысле, например, говорят: лампа накаливания обладает сопротивлением 400 Ом или провод имеет сопротивление 0,5 Ом;

во-вторых, резистором (или сопротивлением) называют устройство, предназначенное для включения в электрическую цепь с целью регулирования, уменьшения или ограничения тока цепи. Таким устройством может служить, например, реостат для регулирования силы тока в цепи путем изменения сопротивления. Резисторы широко применяются в радиоприемниках, телевизорах и других устройствах. Условное обозначение резистора показано на рисунке 2.12.

Удельное сопротивление

Сопротивление зависит от материала проводника и его геометрических размеров. Опыт показывает, что при неизменной температуре сопротивление однородного проводника постоянного оечения прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади S поперечного сечения проводника:

Введем коэффициент пропорциональности и запишем последнюю зависимость в виде равенства

Коэффициент пропорциональности ρ численно равен сопротивлению проводника единичной длины и единичного поперечного сечения и называется удельным сопротивлением проводника. Удельное сопротивление зависит от рода вещества и его состояния (в первую очередь, от температуры).

Из формулы (2.4.6) находим:

Отсюда видно, что единицей удельного сопротивления в СИ является

Ом-метр равен удельному сопротивлению проводника площадью поперечного сечения 1 м² и длиной 1 м, имеющего сопротивление 1 Ом.

Удельное сопротивление металлов мало. Например, удельное сопротивление обычной технической меди при 20 °С равно 1,72 • 10^-8 Ом • м. Механическая и термическая обработка заметно влияет на электрическое сопротивление металлов. Так, после холодной протяжки удельное сопротивление медной проволоки возрастает до 1,77 • 10^-8 Ом • м.

Еще поразительнее зависимость сопротивления от наличия ничтожных примесей. Тщательная очистка уменьшает удельное сопротивление меди при температуре 20 °С до 1,69 • 10^-8 Ом • м. Но достаточно добавить к меди 1% марганца, чтобы удельное сопротивление ее возросло до 4,8 • 10^-8 Ом • м, т. е. почти в 3 раза! Примерно так же влияют на удельное сопротивление добавки железа, кобальта, иридия и др.

У сплавов, содержащих примеси в значительном количестве, сопротивление очень велико. Удельное сопротивление этих сплавов в несколько раз больше, чем у каждой из составных частей. Так, константан, состоящий из 60% меди и 40% никеля, имеет удельное сопротивление 4,4 • 10^-7 Ом • м, в то время как у чистой меди оно равно 1,7 • 10^-8 Ом • м, а у никеля — 7,2 • 10^-8 Ом • м***.

«Королем» подобных сплавов можно назвать нихром, удельное сопротивление которого около 10^-6 Ом • м. Недаром он нашел такое широкое применение в нагревательных приборах.

Диэлектрики обладают очень большим, но конечным удельным сопротивлением. Так, удельное сопротивление фарфора 10¹³ Ом • м.

В таблице 3 приведены примеры значений удельного сопротивления некоторых веществ.

Таблица 3

Величина, обратная удельному сопротивлению проводника, называется удельной проводимостью и обозначается буквой γ:

Единица удельной проводимости — (Ом • м)^-1. Через удельную проводимость сопротивление проводника выралсается так:

Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома в форме (2.4.3) связывает силу тока в проводнике с напряжением на его концах и сопротивлением проводника. Используя ее, можно найти связь между плотностью тока , удельной проводимостью γ и напряженностью поля .

Рассмотрим цилиндрический проводник длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 2.13). В нем устанавливается однородное стационарное поле с линиями напряженности, параллельными оси проводника (см. § 2.3). Поэтому разность потенциалов на концах проводника связана с напряженностью поля соотношением:

Рис. 2.13

Силу тока при равномерном распределении плотности тока можно представить так:

Подставив выражения (2,4.7), (2.4.8) и (2.4.9) в закон Ома (2.4.3), получим:

Вектор плотности тока в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряженности Е электрического поля внутри проводника. Поэтому

Это и есть закон Ома в дифференциальной (локальной) форме, так как связывает три величины — , γ, — в одной точке проводника.

Мы получили закон Ома в форме (2.4.10) для частного случая однородного цилиндрического проводника. В действительности же он справедлив для проводников любой формы, как однородных, так и неоднородных.

* Если спаять концы двух проводников из разных металлов, например из висмута и меди, и нагреть один из спаев, оставляя другой холодным, то в такой цепи возникает электрический ток. Этот ток называется термоэлектрическим, а два соединенных разнородных проводника, дающих такой ток, называются термоэлементом или термопарой.

** Как формулируется закон Ома для участка цепи, в котором имеется источник тока, будет рассказано в § 2.15.

*** Все данные здесь приведены для температуры 20 °С.