Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 1.18. Потенциальная энергия заряда в однородном электрическом поле. Энергия взаимодействия точечных зарядов

• Вычислим потенциальную энергию электрических зарядов для наиболее простых, но очень важных частных случаев.

Потенциальная энергия заряда в однородном поле

Пусть заряд q перемещается в однородном электрическом поле с напряженностью из точки 1 в точку 2. Положение точки 1 определяется радиусом-вектором ₁, а точки 2 радиусом-вектором ₂.

Действующая на заряд сила = q постоянна. Работа силы не зависит от формы траектории, соединяющей точки 1 и 2. Это следует из общего доказательства потенциальности электростатического поля. Можно провести доказательство и с помощью непосредственного вычисления работы при перемещении заряда по разным путям точно так же, как это было сделано в «Механике» для гравитационных сил. Сейчас мы это делать не будем.

Проще всего вычислить работу, если заряд перемещается вдоль прямой, соединяющей точку 1 и точку 2 (рис. 1.78). Вектор перемещения Δ = ₂ - ₁. Работа равна скалярному произведению силы на перемещение:

Рис. 1.78

С другой стороны, согласно (1.17.1), А = -(W_p2 - W_p1)/ Сравнивая выражения (1.18.1) и (1.17.1), получим выражение для потенциальной энергии заряда в однородном поле:

Однородное поле создается, в частности, в пространстве между параллельными пластинами, несущими заряды противоположных знаков (рис. 1.79). Естественно выбрать систему координат так, чтобы ось X была направлена перпендикулярно пластинам. Тогда проекции E_y и Е_z равны нулю и выражение (1.18.2) приобретает вид:

Рис. 1.79

Формула (1.18.3) подобна формуле W_p = mgh для потенциальной энергии тела над поверхностью Земли. Роль массы играет заряд, ускорения свободного падения — напряженность поля, а вместо высоты h стоит координата х. Но знак энергии другой: минус вместо плюса. Дело здесь вот в чем. Масса всегда положительна, и сила тяготения обязательно направлена вертикально вниз. С учетом этих обстоятельств и была записана формула W_p = mgh. В ней стоит модуль ускорения свободного падения, и высота h отсчитывается от поверхности Земли. Формула (1.18.3) является более общей. Заряд q может быть как положительным, так и отрицательным; напряженность поля может быть направлена куда угодно, и ее проекция может иметь как положительное значение, так и отрицательное в зависимости от выбора системы координат.

В частности, если напряженность поля направлена вертикально вниз, а ось X вверх, то

в точном соответствии с выражением W_p = mgh.

Если электрическое поле совершает положительную работу, то энергия заряженного тела в поле уменьшается: ΔW < 0. Одновременно растет его кинетическая энергия. На этом основано ускорение электронов электрическим полем в электронных лампах, телевизионных трубках и т. д. И наоборот, если работа отрицательна (например, при движении положительно заряженной частицы в направлении, противоположном направлению напряженности поля ), то ΔW > 0. Такое движение заряженной частицы подобно движению камня, брошенного вверх. Потенциальная энергия частицы при этом растет, а кинетическая энергия уменьшается: частица тормозится.

Нулевой уровень потенциальной энергии

Потенциальная энергия в электродинамике определяется, как и в механике, с точностью до произвольной постоянной. Вместо выражения (1.18.2) мы могли бы написать:

где С — произвольная константа. При этом изменение потенциальной энергии остается тем же, а работа определяет именно изменение потенциальной энергии, а не саму энергию. Записывая формулу (1.18.2), мы фактически приравняли постоянную С к нулю. Это соответствует определенному выбору нулевого уровня потенциальной энергии. Например, для случая, изображенного на рисунке 1.79, потенциальная энергия считается равной нулю на поверхности пластины В. Но, как и при действии сил тяготения, нулевой уровень потенциальной энергии выбирают произвольно. Можно считать, что W_p = О на расстоянии x₁ от пластины В. Тогда

Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений, определяемая работой поля при перемещении заряда из начального положения в конечное.

Энергия взаимодействия точечных зарядов

В курсе механики было получено выражение для энергии взаимодействия точечных тел:

Если вместо точечных масс взять два разноименных по знаку заряда q₁ и q₂ (заряды притягиваются), то можно получить аналогичное выражение для потенциальной энергии их взаимодействия:

Для зарядов одного знака (заряды отталкиваются) знак потенциальной энергии будет противоположным:

Формулы (1.18.6) и (1.18.7) можно объединить в одну, если вместо модулей зарядов взять их алгебраические значения:

Знак потенциальной энергии автоматически получится правильным.

Если заряды q₁ и q₂ имеют одинаковые знаки, то потенциальная энергия их взаимодействия положительна (рис. 1.80, а). Она тем больше, чем меньше расстояние между зарядами, так как работа, которую могут совершить кулоновские силы при отталкивании зарядов друг от друга, будет больше. Если заряды имеют противоположные знаки, то энергия отрицательна и максимальное ее значение, равное нулю, достигается при r ⇒ (рис. 1.80, б). Чем больше r, тем большую работу совершат силы притяжения при сближении зарядов.

Рис. 1.80

При записи потенциальной энергии в форме (1.18.8) уже сделан определенный выбор нулевого уровня потенциальной энергии. Считается, что потенциальная энергия бесконечно удаленных зарядов равна нулю: W_p ⇒ 0 при r ⇒ . Такой выбор нулевого уровня удобен, но не обязателен. Вместо выражения (1.18.8) можно было бы с тем же успехом записать, что

где С — произвольная постоянная. Отсюда видно, что положительное или отрицательное значение потенциальной энергии особого физического смысла не имеет. Знак потенциальной энергии будет определенным при фиксации произвольной постоянной С. Изменив значение С, мы можем изменить знак W_p при данном расстоянии г между зарядами.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов

Потенциальная энергия системы точечных зарядов q₁, ₂ . . . ,q_N равна сумме потенциальных энергий всех пар взаимодействующих зарядов. Для трех зарядов

Докажите это самостоятельно, используя следующий прием. Вначале заряды q₂ и q₃ находятся на бесконечно большом расстоянии от заряда q₁. Затем заряд q₂ перемещается в точку, находящуюся на расстоянии г_1,2 от первого заряда. Вслед за тем заряд q₃ перемещается в точку на расстоянии r_1,3 от первого заряда и r_2,3 от второго. Надо вычислить работу кулоновских сил, совершаемую при этих перемещениях, и приравнять ее изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

В общем случае N зарядов

где r_i,k — расстояние между зарядами номеров i и k. Коэффициент 1/2 получается из-за того, что при суммировании потенциальная энергия учитывается дважды в виде одинаковых слагаемых .

Вопросы для самопроверки

1. Можно ли создать электростатическое поле, линии напряженности которого параллельны, а модуль напряженности возрастает в направлении, перпендикулярном линиям (рис. 1,81)?

   

   Рис. 1.81

2. Нарисуйте график зависимости потенциальной энергии разноименно заряженных частиц от расстояния при условии, что произвольная постоянная С в формуле (1.18.9) положительна.
3. Как будет выглядеть формула (1.18.8), если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε?