>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебное особие по физике

Система материальных точек. Уравнение поступательного движения системы материальных точек. Центр инерции

Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называют механической системой.

Силы, с которыми взаимодействуют материальные точки системы между собой, называют внутренними силами. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют тела, не входящие в данную систему (внешние тела), называют внешними силами.

Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой, или изолированной, системой.

Для простоты рассуждений рассмотрим вначале систему, состоящую из двух материальных точек с массами и , которые расположены на оси абсцисс в точках с координатами и (рис. 1). Расстояние между этими точками . Точку С, которая делит это расстояние на отрезки, обратно пропорциональные массам, называют центром масс.

Рис. 1

Следовательно, по определению

(1)

Пусть координата этой точки тогда . Подставим в уравнение (1), .

Отсюда

(2)

Формула (2) позволяет определить координату центра масс системы, состоящей из двух материальных точек.

Выражение (2) можно обобщить на систему n материальных точек, расположенных произвольным образом. Координата центра масс

(3)

Аналогичные выражения получаются и для координат и .

Положение центра масс можно также определить с помощью радиуса-вектора:

,

где и — масса и радиус-вектор i-й частицы.

При движении материальных точек системы координаты их изменяются. Записав выражение (3) для двух моментов времени и , вычтем одно из другого и получим:

Разделив обе части этого выражения на промежуток времени , имеем:

где — проекции на ось Ox векторов скорости движения центра масс и материальных точек 1, 2 ... n.

Аналогичные выражения можно записать и для проекции скорости на оси Оу и Oz.

Выражение для нахождения скорости движения центра масс в векторном виде:

(4)

При движении материальных точек системы центр масс перемещается. Определим, от чего зависит характер движения центра масс.

Для этого рассмотрим систему двух материальных точек. Пусть на эти материальные точки действуют внешние силы и и эти точки взаимодействуют между собой силами (рис. 2).

Рис. 2

Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона:

Выразим ускорение точек через их начальные и конечные скорости:

Подставим полученные выражения во второй закон Ньютона:

Складывая эти равенства, имеем:

(5)

Поскольку по третьему закону Ньютона . Из формулы (4) получаем:

где — скорости движения центра масс в начальный момент времени и через промежуток времени . Тогда равенство (5) можно записать так:

(6)

Выражение (6) показывает, что изменить скорость движения центра масс системы материальных точек могут только внешние силы, внутренние силы изменяют скорости движения отдельных материальных точек.

Обозначим — суммарная масса материальных точек системы. Следовательно,

(7)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (7) представляет собой закон движения центра масс.

Если система материальных точек замкнутая, т. е.

Следовательно, центр масс замкнутой системы материальных точек движется равномерно и прямолинейно либо остается неподвижным независимо от того, как движутся отдельные материальные точки системы.

Так, если в инерциальной системе отсчета центр масс замкнутой системы был неподвижен в какой-то момент времени, то он будет оставаться в покое, несмотря на движение отдельных материальных точек системы в результате их взаимодействия.

Таким образом, центр масс (центр инерции) системы, положение которого характеризует распределение масс этой системы и определяется формулой (3), а скорость которого определяется формулой (4), является характерной точкой для системы, поведение которой подчиняется законам Ньютона и не зависит от природы сил взаимодействия в системе.

Понятие центра масс относится и к одиночному телу, которое можно представить как совокупность материальных точек. Центр масс тела можно рассматривать как точку (находящуюся внутри тела или вне его), в которой пересекаются линии действия сил, приводящих данное тело в поступательное движение. Центр масс тела совпадает с его центром тяжести.