Учебное особие по физике

Теорема Остроградского—Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей

Пусть поле создается точечным электрическим зарядом q. Проведем замкнутую сферическую поверхность площадью S (рис. 1), окружающую этот заряд, центр которой совпадает с точкой нахождения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через эту поверхность. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали .

В этом случае во всех точках сферической поверхности E = const и cos = 1.

Рис. 1

Модуль напряженности поля на расстоянии R от заряда

Площадь поверхности сферы

.

Следовательно, поток вектора напряженности через сферическую поверхность

Полученный результат будет справедлив и для поверхности произвольной формы, а также при любом расположении заряда внутри этой поверхности. Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью (рис. 2, а — поверхность изображена штрихами), то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 2, б), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в поверхность, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линии, входящей в поверхность. Если же внутри поверхности площадью S₁ (см. рис. 2) заряды отсутствуют, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю (N_S = 0).

Рис. 2

Если рассматриваемая поверхность охватывает не один, а несколько электрических зарядов, то под q следует понимать алгебраическую сумму этих зарядов (рис. 2) и

Эта формула выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на произведение электрической постоянной и диэлектрической проницаемости среды.

Применим эту теорему для расчета электростатических полей некоторых проводников.

Равномерно заряженная бесконечная плоскость

Пусть — поверхностная плотность заряда на плоскости (рис. 3).

Рис. 3

В качестве поверхности площадью S выберем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости. Основания этого цилиндра расположены перпендикулярно линиям напряженности по обе стороны от плоскости. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности ( = 90°, cos = 0), то поток через боковую поверхность цилиндра отсутствует, и полный поток через поверхность цилиндра равен сумме потоков через два основания: N = 2ES. Внутри цилиндра заключен заряд q = S, поэтому, согласно теореме Остроградского-Гаусса,

где = 1 (для вакуума), откуда следует, что напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Бесконечная равномерно заряженная нить

Пусть — линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длиной и окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью (рис. 4).

Рис. 4

Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность , где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю ( = 90°, cos = 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр

Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, .

Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать

Следовательно, модуль напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью на расстоянии R от нее,