Естествознание

§ 28. Солнечная система и планетарная модель атома

Однако признание получила
другая модель ... в которой
атом представлялся подобно
миниатюрной солнечной системе...
Луи де Бройль

Почему движение электрона в планетарной модели атома водорода эквивалентно движению Земли вокруг Солнца? Каковы значения основных физических величин в системе Земля — Солнце и в атоме водорода? Закон всемирного тяготения. Планетарная модель атома.

Урок-практикум

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. На примере двух систем, описываемых одинаковыми математическими уравнениями, сравнить различные характеристики движения микромира и мегамира.

ПЛАН РАБОТЫ. Последовательно выполняя задания, рассчитать параметры, характеризующие движение Земли вокруг Солнца и электрона вокруг протона в планетарной модели атома водорода. Сравнить эти параметры. Результаты оформить в виде таблицы.

Мориц Эшер. Рука с зеркальным шаром

Не кажется ли вам, что модель Солнечной системы и планетарная модель атома отражаются друг в друге, как человек, держащий в руке зеркальный шар, отражается в этом шаре?

Вы познакомились с масштабами микромира и мегамира. Для лучшего представления о том, насколько различаются эти миры, полезно сравнить различные характеристики на простейших примерах. Рассмотрим систему Солнце — Земля и планетарную модель атома водорода (рис. 30).

Рис. 30. Планетарная модель атома

Будем считать, что движение Земли и движение электрона в атоме водорода происходит по окружностям. Примем для диаметра атома водорода значение 10-10 м, а для радиуса орбиты Земли — 150 млн м. Все остальные необходимые величины приведены в таблице:

В соответствии с законом всемирного тяготения сила притяжения двух тел равна

(вспомните смысл величин, входящих в это выражение). Сила электрического взаимодействия между двумя зарядами определяется выражением:

Коэффициент k зависит от выбора системы единиц, в системе СИ он равен 9х10⁹

1. Вычислите силу, действующую на электрон в атоме водорода и на Землю со стороны Солнца. Сделайте вывод: какая из сил и во сколько раз больше.

2. При сравнении фундаментальных взаимодействий мы говорили, что гравитационное взаимодействие слабее электромагнитного. Однако в предыдущей задаче гравитационная сила больше, чем электрическая. В чем дело? Нельзя сравнивать силу, действующую на весь земной шар и на электрон. Вычислите силу, действующую со стороны Солнца на один электрон, находящийся на земном шаре, и сравните ее с электрической силой в атоме водорода.

ПОДСКАЗКА. Заряды в макроскопических телах и в телах мегамира (звезды, планеты) очень точно скомпенсированы, все эти тела электрически нейтральны. Предположим, что эта компенсация немного нарушена: отсутствует каждый миллиардный электрон из вещества Солнца и вещества Земли. В таком случае Земля и Солнце будут расталкиваться с силой, превышающей силу гравитационного притяжения более чем в 10¹⁷

3. При движении по окружности радиуса r тело обладает ускорением а = v²/r. Используя второй закон Ньютона и выражения для сил, найдите скорость движения электрона и скорость движения Земли по орбите. Сравните скорости. Убедитесь, что не все величины в микромире меньше, чем в мегамире.

4. Чтобы вычислить периоды обращения электрона и Земли, достаточно разделить длину окружности орбиты на скорость движения: Т = 2πr/v. Найдите эти периоды обращения и сравните их.

ПОДСКАЗКА. Чтобы проверить правильность вычислений, выразите период обращения Земли в сутках.

5. Важнейшей величиной, характеризующей движение, является энергия. Энергия электрона в атоме водорода и энергия Земли в гравитационном поле Солнца сохраняются (остаются неизменными при движении). Энергия тела складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия определяется соотношением:

(знак минус здесь важен, его нельзя терять).

Вспомните выражение для кинетической энергии. Вычислите потенциальную, кинетическую и полную энергии для Земли, вращающейся по орбите вокруг Солнца, и для электрона в атоме водорода.

6. Еще одной важной сохраняющейся величиной является момент импульса (подробнее см. § 36). Сейчас лишь поясним, что подобно тому как импульс характеризует инерционность поступательного движения, момент импульса характеризует инерционность вращательного движения. Момент импульса для тела, движущегося по круговой орбите, равен L = mvr.

Вычислите моменты импульса Земли и электрона и сравните их. Сравните момент импульса электрона с величиной h/2π, где h — постоянная Планка.

При правильных вычислениях вы должны получить, что момент импульса электрона близок к величине h/2π. В соответствии с теорией Бора для атома водорода момент импульса электрона всегда кратен этой величине, т. е. равен nh/2π, где n — целое число. Различным значениям n соответствуют различные значения уровней энергии. Это правило справедливо и для движения Земли вокруг Солнца.

Минимальное значение момента импульса при n = 1 соответствует наименьшей энергии электрона в атоме. Этому значению соответствует наименьший радиус орбиты в теории Бора.

Очень эффективно сравнить электромагнитное и гравитационное взаимодействие можно следующим образом. Предположим, что между электроном и протоном в атоме водорода исчезло электромагнитное взаимодействие и осталось лишь гравитационное взаимодействие. Предположим также, что электрон по-прежнему вращается по круговой орбите вокруг протона и имеет минимально возможный момент импульса, т. е. минимальный радиус орбиты. Найдите радиус такой орбиты. С какими известными вам величинами его можно сравнить?

ПОДСКАЗКА. Положите момент импульса электрона равным h/2π и выразите скорость через радиус орбиты. Напишите второй закон Ньютона для электрона, взаимодействующего с протоном при посредстве гравитационной силы. Подставив в это уравнение выражение для скорости, получите уравнение для радиуса орбиты.

Все величины, характеризующие движение в системе Земля — Солнце и в атоме водорода, различаются на много порядков. Однако некоторые из этих величин для атома водорода больше, чем для системы Земля — Солнце.