|
>>> Перейти на полный размер сайта >>> Учебник для 8 класса Алгебра
33. Числовые промежуткиПусть а и b — некоторые числа, причём a < b. Отметим на координатной прямой точки с координатами а и b (рис. 28).
Рис. 28 Если точка расположена между ними, то ей соответствует число х, которое больше а и меньше b. Верно и обратное: если число х больше а и меньше b, то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами а и b. Множество всех чисел, удовлетворяющих условию а ≤ х ≤ b, изображается на координатной прямой отрезком, ограниченным точками с координатами а и b (рис. 29).
Рис. 29 Это множество называют числовым отрезком или просто отрезком и обозначают так: [а; b] (читают: отрезок от а до b). Множество чисел, удовлетворяющих условию а < х < b, называют интервалом и обозначают так: (а; b) (читают: интервал от а до b). На рисунке 30 это множество показано штриховкой. Светлые кружки означают, что числа а и Ь не принадлежат этому множеству.
Рис. 30 Множества чисел х, для которых выполняются двойные неравенства а ≤ х < b или а < х ≤ b, называют полуинтервалами и обозначают соответственно [а; b) и (а; b] (читают: полуинтервал от а до b, включая а; полуинтервал от а до b, включая b). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 31 и 32.
Рис. 31
Рис. 32 Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками. Приведём другие примеры числовых промежутков. Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ а, изображается лучом с началом в точке а, расположенным вправо от неё (рис. 33). Это множество называют числовым лучом и обозначают так: [а; +оо) (читают: числовой луч от а до плюс бесконечности).
Рис. 33 Множество чисел, удовлетворяющих условию х > а, изображается тем же лучом, исключая точку а (рис. 34). Его называют открытым числовым лучом и обозначают так: (а; +оо) (читают: открытый числовой луч от а до плюс бесконечности).
Рис. 34 На рисунках 35 и 36 изображены множества чисел х, для которых выполняются неравенства х ≤ а и х < а. Эти множества обозначают соответственно (-оо; а] и (-оо; а) (читают: числовой луч от минус бесконечности до а; открытый числовой луч от минус бесконечности до а).
Рис. 35
Рис. 36 Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают так: (-оо; +оо). Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.
Выясним, какое множество является пересечением и какое объ единением некоторых числовых промежутков. Пример 1. Найдём пересечение и объединение числовых промежутков [1; 5] и [3; 7] (рис. 37).
Рис. 37 Решение: Имеем [1; 5] ∩ [3; 7] = [3; 5];
Пример 2. Найдём пересечение и объединение числовых промежутков [-4; +оо) и [3; +оо) (рис. 38).
Рис. 38 Решение: Имеем [-4; +оо) ∩ [3; +оо) = [3; +оо);
Заметим, что если числовые промежутки не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество. Например, [1; 4] ∩ [7; +оо) = 0 (рис. 39).
Рис. 39 Следует иметь также в виду, что объединение числовых промежутков не всегда представляет собой числовой промежуток. Например, множество [0; 4] U [6; 10] не является числовым промежутком (рис. 40).
Рис. 40 Упражнения
|
, где а ∈ N, принадлежащие промежутку 
.
, равно -1?