Учебник для 8 класса

Алгебра

7. Преобразование рациональных выражений

Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на многочлен. Деление на х² - Зу² можно заменить умножением на дробь . Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь . Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

Решение: Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена х + 1:

Запись можно вести иначе:

Пример 2. Представим выражение

в виде рациональной дроби.

Решение: Сначала сложим дроби, заключённые в скобки, затем найденныи результат умножим на дробь , наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Пример 3. Представим выражение в виде рациональной дроби.

Решение: Преобразование можно вести по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основным свойством дроби:

Пример 4. Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со скоростью v₁ км/ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оставил дома необходимые документы, и возвратился обратно в посёлок со скоростью v₂ км/ч. Взяв документы, он снова пошёл на станцию со скоростью v₃ км/ч. Выясните, какой была средняя скорость пешехода на всём пройденном им пути.

Решение: Пусть расстояние АВ равно s км. Тогда на путь от А до Б пешеход затратил сначала ч, на путь от В до А ч, а на повторное прохождение пути от А до В ч. На весь путь пешеход затратил + + ч. За это время он прошёл 3s км. Теперь можно найти среднюю скорость v_cp пешехода на всём пути:

Сократив данную дробь на s, найдём, что

Мы получили формулу для вычисления средней скорости, если известны скорости v₁, v₂, v₃ на каждом из трёх участков одинаковой длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость движения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей v₁, v₂ и v₃. Она вычисляется по более сложной формуле, которую называют формулой среднего гармонического трёх чисел.

Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:

где v₁ и v₂ — скорости на этих участках.

Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четырёх чисел:

где v₁, v₂, v₃, v₄ — скорости на этих участках.

Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому нескольких положительных чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных.

Упражнения

148. Выполните действия:

     

149. Выполните действия:

     

150. Упростите выражение:

     

151. Выполните действия:

     

152. Выполните действия:

     

153. Упростите выражение:

     

154. Выполните действия:

     

155. Упростите выражение:

     

156. Представьте в виде дроби:

     

157. При каком значении а выражение

     

     принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

158. При каком значении b выражение , принимает наибольшее значение? Найдите это значение.
159. Докажите тождество:

     

160. Докажите тождество:

     

161. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

     

162. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения

     

     является натуральным числом.

163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:

     

164. Упростите выражение:

     

165. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

     

166. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

     

167. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

     

168. Найдите значение выражения:

     

169. (Для работы в парах.) При каких значениях х имеет смысл выражение:

     

     1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не являются допустимыми?
     2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

170. Найдите среднее гармоническое чисел:

     а) 3, 5;
     б) 2, 4, 8;
     в) 5, 10, 15, 20.

171. Из пункта А в пункт В автобус ехал со скоростью 90 км/ч. На обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до 60 км/ч. Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?
172. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно?
173. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, затем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?
174. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у графика функции:

     а) у = х - 2;
     б) у = - 0,4х + 2. Постройте график этой функции.

175. Напишите уравнение прямой:

     а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой у = Зх;
     б) проходящей через начало координат и параллельной прямой у = - х - 8.

176. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида у = kx + b, если:

     а) k > 0, b > 0;
     б) k < 0, b > 0;
     в) k < 0, b < 0;
     г) k = 0, b > 0.

177. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника.
178. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов после своего отправления он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?