В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?
(Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?
1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
2) Введите обозначения: х км/ч — скорость лодки в стоячей воде; у км/ч и z км/ч — скорости течения первой и второй рек; s км — расстояние, на которое отплывала лодка.
3) Запишите формулы для вычисления времени t1 ч и t2 ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
4) Найдите разность t1 - t2 и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
5) Подтвердилось ли ваше предположение?
Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?
Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.
Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:
Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство:
Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если а — наибольшее число в пропорции - = где а, b, с, d — положительные числа, то верно неравенство а + d > b + с.
Известно, что 12 ≤ у ≤ 16. Оцените значение выражения:
Оцените значение выражения:
Оцените длину средней линии треугольника ABC, которая параллельна стороне АВ, если 10,4 < АВ < 10,5.
Оцените длину средней линии трапеции с основаниями а см и с см, если 3,4 ≤ а ≤ 3,5 и 6,2 ≤ с ≤ 6,3.
К параграфу 11
Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9? Можно ли указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому промежутку?
Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число? наименьшее число?
Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку?
Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число? наибольшее число?
Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа, принадлежащие промежутку:
Верно ли, что:
Найдите пересечение и объединение:
а) множества целых чисел и множества положительных чисел;
б) множества простых чисел и множества нечётных натуральных чисел.
Является ли число решением неравенства х < 5? Укажите какое-нибудь число, большее , удовлетворяющее этому неравенству.
Является ли число решением неравенства х > 3? Укажите какое-либо число, меньшее , удовлетворяющее этому неравенству.
Решите неравенство:
При каких значениях а верно неравенство:
Решите неравенство:
Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:
При каких значениях х:
а) значение дроби больше соответствующего значения дроби ;
б) значение дроби меньше соответствующего значения дроби ?
Решите неравенство:
Найдите, при каких значениях а уравнение имеет положительный корень:
Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень:
При каких значениях т верно равенство:
Найдите промежутки, в которых функция у = - 6x + 12 принимает положительные значения; отрицательные значения. Ответ проиллюстрируйте на графике.
Со склада вывозят болванки: железные массой по 500 кг и медные массой по 200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 т, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может быть железных болванок?
С турбазы в город, отстоящий на расстояние 24 км, вышел первый турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?
От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км (рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через ферму по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?
Рис. 48
Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его периметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом сантиметров?
Решите систему неравенств:
Найдите целые решения системы неравенств:
Решите двойное неравенство:
а) При каких х значение выражения 2х - 4 принадлежит интервалу (- 1; 5)?
б) При каких х значение дроби принадлежит числовому отрезку [0; 5]?
в) При каких х значения функции у = - х + 8 принадлежат интервалу (- 1; 1)?
г) При каких х значения функции у = - 2,5х + 6 принадлежат числовому отрезку [- 6; - 2]?
Найдите положительные значения у, удовлетворяющие системе неравенств:
Найдите отрицательные значения у, удовлетворяющие системе неравенств:
При каких значениях а уравнение
х2 - 4ах + 4а2 - 25 = 0
имеет два корня, каждый из которых больше 2?
При каких значениях b уравнение
х2 - (2b - 2)х + b2 - 2b = 0
имеет два корня, принадлежащие интервалу (-5; 5)?
Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, чем сейчас, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?
Первую половину пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всём участке не превышала 72 км/ч?
где а, b, с, d — положительные числа, то верно неравенство а + d > b + с.
решением неравенства х < 5? Укажите какое-нибудь число, большее 
решением неравенства х > 3? Укажите какое-либо число, меньшее 
больше соответствующего значения дроби 
;
меньше соответствующего значения дроби 
?
принадлежит числовому отрезку [0; 5]?
х + 8 принадлежат интервалу (- 1; 1)?
