|
|
Учебник для 8 класса Алгебра24. Теорема ВиетаПриведённое квадратное уравнение х2 - 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Теорема
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q: х2 + рх + q = 0. Дискриминант этого уравнения D равен р2 - 4q. Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:
Найдём сумму и произведение корней:
Итак,
Теорема доказана. При D = 0 квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D = 0 корни уравнения также можно вычислять по формуле
Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты. Пусть квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет корни x1 и х2. Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид
По теореме Виета
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: Теорема
По условию m + n = - р, а mn = q. Значит, уравнение х2 + рх + q = 0 можно записать в виде х2 - (m + n) х + mn = 0. Подставив вместо х число m, получим: m2 — (m + n)m + mn = m2 - m2 - mn + mn = 0. Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения. Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения Зх2 - 5х + 2 = 0. Решение: Дискриминант D = 25 - 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение . Значит, сумма корней уравнения Зх2 - 5х + 2 = 0 равна , а произведение равно . По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения. Пример 2. Решим уравнение х2 + Зх — 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Решение: Найдём дискриминант: D = З2 + 4 • 40 = 169. По формуле корней квадратного уравнения получаем
Отсюда
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 + Зх - 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 + Зх - 40 = 0. Пример 3. Найдём подбором корни уравнения х2 - х - 12 = 0. Решение: Дискриминант D = 1 - 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x1 и х2 — корни уравнения. Тогда x1 + х2 = 1 и х1 • х2 = -12. Если х1 и х2 — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1 = -3 и x2 = 4. Упражнения
Контрольные вопросы и задания
|
|
|