Сторона а5 правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле
Выражение , входящее в эту формулу, имеет вид
,
где а, b, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом.
В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.
Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении .
Решение: Попытаемся представить выражение 41 - 12 в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12 можно представить, например, как 2 • 6 • или как 2 • 3 • 2. Проверка убеждает нас, что именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и равна 41. Значит,
Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении .
Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов.
Решение: Пусть = а + b, где а и b — некоторые числа. Тогда (а + b)2 = 61 + 28 и а + b ≥ 0. Значит,
Отсюда
Выпишем все пары целых чисел (а; b), для которых аb = 14:
Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям
Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит,
В тех случаях, когда a ≥ 0, b ≥ 0 и разность а2 - b равна квадрату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в выражении можно с помощью формулы двойного радикала:
В правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а ±
Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении .
Решение: По формуле двойного радикала имеем
Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы.
Пример 4. Упростим выражение
Решение: Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде
Получим
Упражнения
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:
Найдите значение выражения:
Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:
Упростите выражение, вычислив предварительно значение а2, если:
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
, входящее в эту формулу, имеет вид
,
.
в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12
.
, где а и b — некоторые числа. Тогда (а + b
можно с помощью формулы двойного радикала:
.
