Найдём значение выражения при х = 5 и при х = - 6:
В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:
Теорема
При любом значении х верно равенство = |x|. (1)
Рассмотрим два случая: х ≥ 0 и х < 0. Если х ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня = х. Если х < 0, то - х > 0, поэтому = = - х. Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = - х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения |х|.
Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).
Пример 1. Упростим выражение .
Решение: Представим степень а16 в виде (а8)2 и воспользуемся тождеством (1):
Так как а8 ≥ 0 при любом а, то |а8| = а8. Итак, = а8.
Пример 2. Преобразуем выражение , где х ≤ 0.
Решение: Представим x10 в виде (х5)2, получим
Так как х ≤ 0, то х5 ≤ 0, поэтому |х5|= - х5.
Значит, при х ≤ 0
= - x5.
Пример 3. Найдём значение выражения .
Решение: Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим
Пример 4. Упростим выражение .
Решение: Имеем .
Упражнения
Вычислите:
Найдите значение выражения:
Замените выражение тождественно равным:
Упростите выражение:
Упростите выражение , зная, что:
а) 0 ≤ а < 2;
б) а ≥ 2.
(Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения при х, равном:
а) 2,71;
б) 12,62.
1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.
2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.
Верно ли равенство:
Упростите выражение:
Найдите значение корня:
Вычислите:
Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:
Вычислите:
На рисунке 19 изображены графики функций
y = 2x + 2, y = - З и y = -2х + 2.
Рис. 19
Для каждой функции укажите её график.
Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR2H, где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н.
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
Докажите тождество = |х|.
Покажите на примере выражения , как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.
при х = 5 и при х = - 6:
= - х. Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = - х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения 
.
, где х ≤ 0.
.
.
.
, зная, что:
при х, равном:
- З и y = -2х + 2.
, как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.