Алгебра

17. Квадратный корень из степени

Найдём значение выражения при х = 5 и при х = - 6:

В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

Теорема

При любом значении х верно равенство = |x|. (1)

Рассмотрим два случая: х ≥ 0 и х < 0. Если х ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня = х. Если х < 0, то - х > 0, поэтому = = - х. Мы знаем, что |х| = х, если х ≥ 0, и |х| = - х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения совпадает со значением выражения |х|.

Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).

Пример 1. Упростим выражение .

Решение: Представим степень а¹⁶ в виде (а⁸)² и воспользуемся тождеством (1):

Так как а⁸ ≥ 0 при любом а, то |а⁸| = а⁸. Итак, = а⁸.

Пример 2. Преобразуем выражение , где х ≤ 0.

Решение: Представим x¹⁰ в виде (х⁵)², получим

Так как х ≤ 0, то х⁵ ≤ 0, поэтому |х⁵|= - х⁵.

Значит, при х ≤ 0

= - x⁵.

Пример 3. Найдём значение выражения .

Решение: Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим

Пример 4. Упростим выражение .

Решение: Имеем .

Упражнения

Вычислите:
Найдите значение выражения:
Замените выражение тождественно равным:
Упростите выражение:
Упростите выражение , зная, что:
а) 0 ≤ а < 2;
б) а ≥ 2.
(Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения при х, равном:
а) 2,71;
б) 12,62.
1) Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.
2) Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.
Верно ли равенство:
Упростите выражение:
Найдите значение корня:
Вычислите:
Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей:
Вычислите:
На рисунке 19 изображены графики функций
y = 2x + 2, y = - З и y = -2х + 2.

Рис. 19
Для каждой функции укажите её график.
Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR²H, где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н.

Контрольные вопросы и задания

Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
Докажите тождество = |х|.
Покажите на примере выражения , как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.