Учебник для 8 класса

Алгебра

13. Уравнение х² = а

Рассмотрим уравнение х² = а, где а — произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая.

Если а < 0, то уравнение х² = а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю, так как существует единственное число 0, квадрат которого равен нулю.

Если а > 0, то уравнение имеет два корня. Чтобы убедиться в этом, обратимся к графику функции у = х² (рис. 13).

Рис. 13

Прямая у - а при а > 0 пересекает параболу у = х² в двух точках. Обозначим абсциссы точек пересечения х₁ и х₂. Тогда х₁² = а и х₂² = а, значит, числа х₁ и х₂ — корни уравнения х² = а. Так как х₂ есть положительное число, квадрат которого равен а, то х₂ является арифметическим квадратным корнем из а, т. е. х₂ = . Так как х₁ есть число, противоположное х₂, то х₁ = - .

Например:

• уравнение х² = 49 имеет корни x₁ = - и х₂ = , т. е. х₁ = -7 и х₂ = 7;
• уравнение x² = 6,25 имеет корни x₁ = и х₂ = , т. е. х₁ = -2,5 и х₂ = 2,5;
• уравнение х² = имеет корни х₁ = - и х₂ = , т. е. х₁ = - и х₂ = .

Уравнение х² = 2 имеет корни x₁ = - и х₂ = . Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х² легко найти приближённые значения этих корней: ≈ 1,4 и - ≈ -1,4 (рис. 14).

Рис. 14

Уравнения х² = 3, х² = 5, х² = 6,5 имеют соответственно корни - и , - и , - и . Эти корни также являются иррациональными числами.

Вообще, при любом а ≥ 0 уравнение х² = а имеет неотрицательный корень ; иными словами, какое бы число а ≥ 0 мы ни взяли, найдётся неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что

Упражнения

319. Имеет ли корни уравнение:

     

320. Решите уравнение:

     

321. Решите уравнение и с помощью графика функции у = х² найдите приближённые значения его корней:

     

322. Решите уравнение:

     

323. Найдите корни уравнения:

     

324. Решите уравнение:

     

325. Имеет ли смысл выражение при х = - 3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4?
326. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

     

327. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:

     

328. Найдите квадрат числа:

     

329. Найдите значение выражения:

     

330. Вычислите:

     

331. Вычислите:

     

332. Найдите значение выражения:

     

333. Найдите значение выражения при х = - 8; - 5; 1; 7; 128.

     Чему равно значение выражения , если:

     а) х > 0;
     б) х < 0?

334. Найдите значение выражения:

     

335. Изобразите схематически в одной и той же системе координат графики функций у = и у = 10x. Имеют ли эти графики общие точки и если имеют, то сколько?