Учебник для 7 класса

Алгебра

36. Разложение на множители суммы и разности кубов

Для разложения на множители суммы кубов используется тождество

а³ + b³ = (а + b)(а² - аb + b²), (1)

которое называют формулой суммы кубов.

Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен а + b на трёхчлен а² - аb + b²:

(а + b)(а² - аb + b²) =
= а³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = а³ + b

Множитель а² - ab + b² в правой части формулы (1) напоминает трёхчлен а² - 2ab + b², который равен квадрату разности а и b. Однако вместо удвоенного произведения а и b в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен a² - ab + b² называют неполным, квадратом, разности а и b. Итак,

Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х³ + у³.

Решение: Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

27х³ + у² = (Зх)³ + у².

Применив формулу (1), получим

(Зх)³ + у³ = (Зх + у)(9х² - 3ху + у²).

Итак

27х³ + у³ = (Зх + у)(9х² - Зхy + у²).

Для разложения на множители разности кубов используется тождество

а² - b² = (а - b)(а² + аb + b²), (2)

которое называют (рормулой разности кубов.

Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение двучлена а - b и трёхчлена а² + аb + b², который называют неполным квадратом суммы а и b:

(а - b)(а² + аb + b²) =
= а³ + a²b + ab² - а²b - ab² - b³ = а³ - b³.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен m⁶ - n³.

Решение: Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и применим формулу (2). Получим

m⁶ - n³ = (m²)³ - n³ - (m² - n)(m⁴ + m²n + n²).

Упражнения

905. Разложите на множители многочлен:

     

906. Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:

     

907. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

     

908. Разложите на множители:

     

909. Запишите в виде произведения выражение:

     

910. Разложите на множители:

     

911. Запишите в виде произведения:

     

912. Представьте в виде произведения:

     

913. Докажите, что значение выражения:

     

914. Делится ли значение выражения:

     

915. Представьте в виде многочлена:

     

916. Докажите, что равенство не является тождеством:

     

917. Решите уравнение:

     

Контрольные вопросы и задания

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите её.
2. Чему равна разность квадратов двух выражений? Напишите соответствующую формулу.
3. Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.
4. Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.
5. Разложите на множители многочлен 16t² - 1; р³ + 8; m³ - 27.