|
|
Учебник для 7 класса Алгебра31. Деление с остаткомВам неоднократно приходилось встречаться со случаями, когда при делении одного натурального числа на другое получается остаток. Например, при делении числа 143 на 7 в частном получается 20 и в остатке 3: 143 : 7 = 20 (ост. 3), причём остаток 3 меньше делителя. Если из 143 вычесть 3, то полученная разность будет делиться на 7: 143 - 3 = 7 • 20.
В том случае, когда одно натуральное число делится на другое без остатка, условились считать, что остаток равен нулю. В ообще число r называется остатком от деления натурального числа а на натуральное число b, если выполняются два условия: а - r делится на b и 0 ≤ r < b. Определение остатка, принятое для натуральных чисел, переносится на случай, когда делимое является целым числом, а делитель — натуральным числом.
Обозначив частное от деления а - r на b буквой q, получим, что а - r = bq. Отсюда а = bq + r, где 0 ≤ r < b. Например: -13 = 5 • (-3) + 2, причём 0 ≤ 2 < 5. Частное от деления числа -13 на 5 равно -3, а остаток равен 2. При решении задач широкое применение находит следующее утверждение: Для любого целого числа а и натурального b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что а = bq + r, где 0 ≤ r < b. В справедливости этого утверждения можно убедиться, обратившись к координатной прямой. Пусть на координатной прямой отмечены числа, кратные b (рис. 69).
Рис. 69 Они разбивают координатную прямую на отрезки, концами которых являются точки с координатами bq и b(q +1), где q — целое число. Длина каждого из этих отрезков равна b. Произвольное число а изображается точкой, которая либо совпадает с левым концом отрезка, ограниченного точками с координатами bq и b(q + 1), либо находится внутри этого отрезка. В первом случае а = bq, т. е. а = bq + 0, а во втором а = bq + г, где 0 ≤ r < b. Таким образом, в любом случае найдётся единственная пара целых чисел q и г, такая, что а = bq + г, где 0 ≤ r < b. На делении с остатком основаны различные разбиения множества целых чисел на классы, т. е. на подмножества, не имеющие общих элементов. Например, при делении числа на 3 могут получиться остатки 0, 1 и 2. Соответственно множество целых чисел можно разбить на три класса: множество чисел вида Зk,
где k — целое число. Аналогично, исходя из остатков от деления целого числа на 5, множество целых чисел можно разбить на пять классов: множество чисел вида 5k,
где k — целое число. Пример. Докажем, что если целые числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число ab - 1 делится на 3. Решение: По условию числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю. Значит, либо а = Зk + 1 и b = Зр + 1, либо а = 3k + 2 и b = Зр + 2, где k и р — целые числа. В первом из этих случаев имеем
Во втором случае имеем
Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев число ab - 1 делится на 3. Упражнения
|
|
|