Учебник для 7 класса

Алгебра

26. Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены 5х² + 7х - 9 и -Зх² - 6х + 8.

Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены:

Вычтем из многочлена х³ + 5х² - х + 8 многочлен х³ - 7х - 1.

Для этого составим их разность, раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены:

Мы представили сумму многочленов 5х² + 7х - 9 и -Зx² - 6х + 8 в виде многочлена 2х² + х - 1, а разность многочленов х³ + 5х² - х + 8 и х³ - 7х - 1 в виде многочлена 5х² + 6х + 9.

Вообще сумму и разность многочленов всегда можно представить в виде многочлена.

Иногда требуется решить обратную задачу — представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются правилом:

Например:

Упражнения

585. а) Составьте сумму многочленов 4х³ - 5х - 7 и х³ - 8х и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
     б) Составьте разность многочленов 5у² - 9 и 7у² - у + 5 и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.
586. Даны два многочлена: 2а³ - 5а + 5 и а³ - 4а - 2. Упростите:

     а) сумму этих многочленов;
     б) разность первого и второго многочленов;
     в) разность второго и первого многочленов.

587. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

     

588. Упростите выражение:

     

589. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

     

590. Найдите сумму и разность многочленов:

     а) а + b и а - b;
     б) а - b и а + b;
     в) -а - b и а - b;
     г) а - b и b - а.

591. Докажите, что:

     а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
     б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

592. Докажите, что выражение:

     а) (х - у) + (у - z) + (z - х) тождественно равно 0;
     б) (а2 - 5аb) - (7 - Заb) + (2аb - а²) тождественно равно -7.

593. Найдите многочлен, после подстановки которого вместо М следующее равенство окажется тождеством:

     

594. Какой многочлен в сумме с многочленом 5х² - Зх - 9 тождественно равен:

     

595. Упростите выражение:

     

596. Упростите выражение:

     

597. Найдите значение выражения

     

598. Вычислите значение выражения 5х² - (3ху - 7х²) + (5ху - 12х²), если:

     

599. Докажите, что при любом значении х разность многочленов

     

     принимает положительное значение.

600. (Для работы в парах.) Учащимся была предложена задача: «Найдите значение выражения

     

     при а = -0,25».

     Один из учеников сказал, что в задаче не хватает данных. Прав ли он?

     1) Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.
     2) Выполните преобразования.
     3) Сделайте вывод.

601. Какой двучлен нужно сложить с многочленом х² + у² - 2ху + 1, чтобы в результате получился многочлен:

     а) не содержащий переменную х;
     б) не содержащий переменную у?

602. Докажите, что не зависит от х значение выражения

     

603. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

     а) 1,7 - 10b² - (1 - 3b²) + (2,3 + 7b²);
     б) 1 - b² - (3b - 2b²) + (1 + 3b - b²).

604. Пусть х = 5а² + баb - b², у = -4а² + 2аb + 3b², z = 9а² + 4аb. Подставьте эти многочлены вместо х, у и z в данное выражение и упростите его:

     а) х + у + z;
     б) х - у - z.

605. Решите уравнение:

     

606. Решите уравнение:

     

607. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:

     

608. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена:

     

609. Известно, что при некоторых натуральных значениях п значение выражения n³ + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях п значение выражения:

     

610. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма:

     а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
     б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.

     1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
     3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.

611. (Задача исследование.) В «Арифметике» Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа: «Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

     1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
     2) Предложите соседу но парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
     3) Найдите число, задуманное соседом.
     4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Магницкого.

612. Представьте выражение в виде одночлена:

     

613. С помощью калькулятора найдите значение выражения х² - у, если х = 1,4, у = 0,157.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение многочлена.
2. На примере многочлена 5а²х + ах² - 4ах • х объясните, как привести многочлен к стандартному виду.
3. Что называется степенью многочлена? Приведите пример многочлена третьей степени.
4. Составьте сумму и разность многочленов х² - Зу + 6 и -х² + 3y+1 и преобразуйте каждое выражение в многочлен стандартного вида.
5. В многочлене 5х² - х + 4 заключите в скобки два последних члена, поставив перед скобками: а) знак «плюс»; б) знак «минус».