Учебник для 7 класса

Алгебра

17. Задание функции несколькими формулами

Ранее вы встречались с примерами, когда функция задавалась одной формулой. Однако нередко встречаются ситуации, когда функцию задают несколькими формулами. Приведём примеры.

Пример 1. Турист первую часть пути от дома до станции шёл полтора часа со скоростью 6 км/ч. Затем полчаса он отдыхал, а после отдыха оставшуюся часть пути до станции он прошёл за один час со скоростью 5 км/ч.

Расстояние s (в километрах) от дома до места нахождения туриста является функцией времени t (в часах). Покажем, что эту функцию можно задать тремя формулами.

Когда время t изменяется от 0 до 1,5 ч, расстояние от туриста до дома равно 6t км, т. е.

s = 6t, если 0 ≤ t < 1,5.

В период от 1,5 до 2 ч расстояние от туриста до дома остаётся неизменным, равным 9 км, т. е.

s = 9, если 1,5 ≤ t ≤ 2.

Когда время t изменяется от 2 до 3 ч, расстояние от туриста до дома равно 9 + 5(t - 2) км, т. е.

s = 5t - 1, если 2 < t ≤ 3.

«Это можно записать короче:

На рисунке 45 изображён график этой функции.

Рис. 45

Пример 2. Построим график функции у = х + 0,5|x|.

Решение: Освободимся от знака модуля. Если х < 0, то |x| = -x. Значит,

у = х - 0,5x = 0,5x при х < 0.

Если х > 0, то |х| = х. Значит, у = х + 0,5х = 1,5х при х > 0. Итак, данную функцию можно задать двумя формулами:

На рисунке 46 изображён график этой функции. Он состоит из двух лучей.

Рис. 46

Пример 3. На рисунке 47 изображён равнобедренный треугольник AВС, в котором ∠C - 90°, гипотенуза AВ = 4 см. Отрезок MN, перпендикулярный AВ, движется так, что точка М перемещается от точки А до точки В. При этом длина отрезка AM, равная х см, изменяется от 0 до 4 см.

Рис. 47

Покажем, что площадь у (в квадратных сантиметрах) отсекаемой отрезком MN фигуры (треугольника AMN или четырёхугольника AM'N'C) является функцией длины отрезка, зададим эту функцию формулами и построим её график. При этом воспользуемся формулой площади треугольника S = ah где а — основание треугольника, h — его высота.

Если переменная х изменяется от 0 до 2 (точка М перемещается от точки А до точки D), то отсекаемая фигура представляет собой треугольник AMN, площадь которого равна AM • MN, т. е. у = х². Если же переменная х изменяется от 2 до 4 (точка М' перемещается от точки D до точки В), то отсекаемая фигура представляет собой четырёхугольник AM'N'C, площадь которого равна разности площади треугольника ABC и площади треугольника M'N'B, т. е. у = 4 - (4 — х)².

Легко понять, что каждому значению х, где 0 ≤ х ≤ 4, соответствует единственное значение у, т. е. зависимость у от х является функцией. Эту функцию можно задать двумя формулами:

Для построения графика составим таблицу:

Построив в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в таблице, и соединив эти точки плавной линией, получим график рассматриваемой функции (рис. 48).

Рис. 48

Замечание. Задавая функцию у = f(x) несколькими формулами, необходимо следить за тем, чтобы каждому значению х соответствовало единственное значение у. В противном случае такая зависимость не будет являться функцией. Например, зависимость

не является функцией, так как в этом случае число 3 — общее значение переменной как для формулы у = ху так и для формулы у = 2х. Поэтому значению х = 3 соответствует не одно, а два значения у: у₁ = 3 и у₂ = 6.

Упражнения

339. Функция задана графиком (рис. 49). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или носколькими формулами.

     

     Рис. 49

340. Из бака ёмкостью 20 л, заполненного водой (рис. 50), через открытый кран равномерно вытекает вода со скоростью 2 л в минуту. Через кран может вытечь 0,9 всего объёма воды в баке, так как кран расположен выше дна бака. Объём воды V (в литрах) в баке зависит от времени х (в минутах), когда кран открыт. Задайте зависимость V от х аналитически, если известно, что кран был открыт в течение 12 мин.

     

     Рис. 50

341. Постройте график функции:

     

342. Постройте график функции:

     

343. Функция задана двумя формулами:

     

     Задайте эту функцию одной формулой, используя знак модуля.

344. На рисунке 51 изображён графи к функции, область определения которой есть множество значений х, таких, что -2 ≤ х ≤ 6 Задайте эту функцию аналитически.

     

     Рис. 51

345. Изменение температуры Т (в градусах Цельсия) воды в баке описано с помощью формул:

     

     Найдите значение Т при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90. Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда 0 ≤ t < 20? когда 20 < t ≤ 30? когда 30 < t ≤ 90?

346. Пешеход, отправившийся из дома на прогулку, оказался через t ч на расстоянии s км от дома. Зависимость s от t задана тремя формулами:

     

     Найдите расстояние s при t, равном 0; ; ; 1; 1,5; 2.

347. На рисунке 52 изображён график движения автомобиля из пункта А в пункт В. Задайте эту функцию аналитически. С какой скоростью двигался автомобиль до остановки? С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?

     

     Рис. 52