|
|
Учебник для 7 класса Алгебра15. Прямая пропорциональность и её графикРассмотрим пример. Пусть V — объём железного бруска в кубических сантиметрах, m — его масса в граммах. Так как плотность железа равна 7,8 г/см3, то m = 7,8 V. Зависимость массы железного бруска от его объёма является примером функции, которая задаётся формулой вида у = kx, где х — независимая переменная, k — число, отличное от нуля.
Такую функцию называют прямой пропорциональностью.
Число k в формуле у = kх называется коэффициентом прямой пропорциональности. Из формулы у = kх, где k ≠ 0, находим, что если х1 и х2 — значения аргумента, причём x1 ≠ 0, х2 ≠ 0, а у1 и у2 — соответствующие им значения функции, то у1 = kх1, у2 = kх2. Отсюда
т. е. верна пропорция
С этим и связано название «прямая пропорциональность» в отличие от «обратной пропорциональности», с которой вы познакомитесь позже. В повседневной жизни мы часто встречаемся с зависимостями между переменными, которые являются прямыми пропорциональностями. Приведём примеры. Пример 1. Путь s км, пройденный автомобилем за t ч с постоянной скоростью 70 км/ч, вычисляется по формуле s = 70t, где t > 0, т. е. зависимость s от t является прямой пропорциональностью. Пример 2. Стоимость р товара в рублях по цене 15 р. за килограмм вычисляется по формуле р = 15x, где x — масса товара в килограммах. Зависимость р от x является прямой пропорциональностью. Пример 3. Длина окружности С вычисляется по формуле С = 2πr, где r — радиус окружности, π — число, приближённо равное 3,14. Значит, зависимость С от r является прямой пропорциональностью (коэффициент пропорциональности здесь равен 2π). Выясним, что представляет собой график прямой пропорциональности. В качестве примера рассмотрим функцию у = 0,5x и построим график этой функции. Область определения функции у = 0,5x — множество всех чисел. Составим таблицу соответственных значений переменных x и у для некоторых значений аргумента x:
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых номещеш,1 в таблице (рис. 22).
Рис. 22 Можно заметить, что все отмеченные точки принадлежат некоторой прямой, проходящей через начало координат. Проведём эту прямую. Получим график функции у = 0,5x (рис. 23).
Рис. 23 Рассуждая аналогично, можно построить, например, график функции у = -1,5x (рис. 24). Этот график, так же как и график функции у = 0,5x, является прямой и проходит через начало координат.
Рис. 24 Вообще,
Чтобы построить график функции у = kx, достаточно найти координаты какой-нибудь точки графика этой функции, отличной от начала координат, отметить эту точку и через неё и начало координат провести прямую. Построим, например, график функции у = 1,5х. Пусть х = 2, тогда у = 3. Построим точку A (2; 3) и через неё и начало координат проведём прямую. Эта прямая является графиком функции у = 1,5х (рис. 25).
Рис. 25 Расположение графика функции у = kx в координатной плоскости зависит от коэффициента k. Из формулы у = kx находим, что если х = 1, то у = k. Значит, график функции у = kх проходит через точку (1; k). При k > 0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при k < 0 — в четвёртой. Отсюда следует, что при k > 0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой. На рисунке 26 построены графики прямой пропорциональности при различных значениях k.
Рис. 26 Упражнения
В координатной плоскости отметьте эти точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость у от x.
|
|
|