Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

30. Изменение величин

Температура может как повышаться, так и понижаться. Пусть, например, утром температура воздуха была 3°С, в середине дня — 9°С, а вечером — 7°С. За первую половину дня температура повысилась на 6 °С, а за вторую половину дня понизилась на 2°С. Повышение температуры выражают положительными числами, а понижение — отрицательными. Так, если температура повысилась на 6°С, то говорят, что её изменение равно 6°С или +6°С, если понизилась на 2°С, то говорят, что её изменение равно -2°С.

Длина пружины может как увеличиваться, так и уменьшаться. Увеличение длины пружины будем выражать положительными числами, а уменьшение — отрицательными.

Точка на координатной прямой может перемещаться влево или вправо по этой прямой. Перемещение точки вправо обозначают положительными числами, а перемещение влево — отрицательными (рис. 68).

Рис. 68

Таким образом, увеличение любой величины можно выразить положительными числами, а уменьшение — отрицательными.

Вопросы для самопроверки

В каком случае изменение температуры положительно, а в каком случае — отрицательно?
Что значит отрицательное изменение длины пружины?
Что означает положительное перемещение точки по координатной прямой и что означает отрицательное перемещение точки по этой прямой?
Каким числом выражается перемещение точки на координатной прямой влево и каким — вправо?

Выполните упражнения

1001. Объясните смысл предложения:

а) изменение температуры равно t°С, если t = 28; -30; -8; 4,5; -1,7;
б) изменение длины пружины равно х миллиметрам, если х = -10; 12; -9; -4.

1002. Изменение температуры равно m градусам. Чему равно т, если температура:

а) понизилась на 6°С;
б) повысилась на 3,6°С;
в) повысилась на 60 °С;
г) понизилась на 3,4 °С?

1003. Изменение длины пружины равно с мм. Чему равно с, если длина пружины:

а) увеличилась на 6 мм;
б) уменьшилась на 5 мм;
в) уменьшилась на 23 мм;
г) увеличилась на 18 мм?

1004. Прочитайте показания термометров, изображённых на рисунке 69. Какую температуру будет показывать каждый из этих термометров, если температура изменится:

а) на-1°С;
б) на1°С;
в) на 2°С;
г) на-2°С?

Рис. 69

1005. Отметьте на координатной прямой точку А(2). Укажите:

а) точку В, в которую перейдёт точка А при перемещении на -6;
б) точку С, в которую перейдёт точка А при перемещении на 6;
в) точку D, в которую перейдёт точка А при перемещении на -7;
г) точку Е, в которую перейдёт точка А при перемещении на 3.

Назовите координаты точек В, С, D и Е.

1006. На сколько единиц переместилась точка Р(4) по координатной прямой, если она попала в точку К(-2)? А если она попала в точку T(6)?

1007. Среди чисел укажите числа:

а) положительные;
б) отрицательные;
в) неположительные;
г) неотрицательные;
д) не являющиеся ни положительными, ни отрицательными.

1008. Верно ли неравенство: а > b; d < а; b > с; а > с; d > b (рис. 70)?

Рис. 70

1009. На рисунке 71 под цифрой 1 показан вид фигуры спереди, а под цифрой 2 — вид сверху. Какая это может быть фигура?

Рис. 71

1010. Сравните числа:

1011. Какие целые числа заключены между числами:

1012. Назовите какое-нибудь число, которое:

а) меньше , но больше ;
б) меньше , но больше ;
в) меньше 0,17, но больше 0,16.

1013. Из всего собранного зерна пшеница составляла 80%, причём 70% этой пшеницы была пшеница твёрдых сортов. Сколько тонн зерна было собрано, если твёрдой пшеницы было собрано 560 т?

1014. Площадь прямоугольника 11,7 дм², ширина этого прямоугольника 2,6 дм. Все его стороны увеличили на 0,2 дм. Найдите площадь нового прямоугольника.

1015. В воскресенье утром температура воздуха была -2°С. Какой стала температура воздуха в понедельник, если за сутки она изменилась:

а) на -5°С;
б) на 3°С;
в) на 2°С?

1016. Отметьте на координатной прямой точку С (-4). Укажите точку В, в которую перейдёт точка С при перемещении по координатной прямой на -3, и точку D, в которую перейдёт точка С при перемещении на +9.

1017. Отметьте на координатной прямой точку М(-4). После перемещения по координатной прямой она попала в точку С(3). Чему равно перемещение?

1018. Имелась пачка бумаги. На перепечатывание одной рукописи израсходовали пачки. На перепечатывание другой рукописи ушло 0,8 остатка. Сколько листов бумаги было в пачке, если после перепечатывания этих двух рукописей в ней осталось 40 листов?

1019. Найдите значение выражения:

а) (8,74 + 0,66 : 13,2 - 3,79) • 0,31;
б) (9,68 - 0,77 : 15,4 + 0,87) • 4,2.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные — как долг, недостача.

Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием.

В Европе отрицательными числами начали пользоваться с XII—XIII вв., но до XVI в., как и в древности, они понимались как долги, большинство учёных считали их «ложными», в отличие от положительных чисел — «истинных».

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596—1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел — ввёл координатную прямую (1637 г.).

Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел.