Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

10. Приведение дробей к общему знаменателю

Умножим числитель и знаменатель дроби на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь Говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю 8. Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю данной дроби.

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем. При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Пример 1. Приведём дробь к знаменателю 35.

Решение. Число 35 кратно 7, так как 35 : 7 = 5. Дополнительным множителем является число 5. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на 5, получим

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.

Например,

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знаменателей).

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример 2. Приведём к наименьшему общему знаменателю дроби

Решение. Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является 12.

Чтобы привести дробь к знаменателю 12, надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3(12 : 4 = 3). Получим

Чтобы привести дробь к знаменателю 12, надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2(12 : 6 = 2). Получим

Итак

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Пример 3. Приведём дроби к наименьшему общему знаментелю.

Решение. Разложим знаменатели данных дробей на простые множители: 60 = 2 • 2 • 3 • 5; 168 = 2 • 2 • 2 • 3 • 7. Найдём наименьший общий знаменатель: 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 840.

Дополнительным множителем для дроби является произведение 2 • 7, т. е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840. Поэтому

Для дроби таким же способом находим дополнительный множитель 5. Значит,

Итак,

Вопросы для самопроверки

К какому новому знаменателю можно привести данную дробь?
Можно ли привести дробь к знаменателю 35? к знаменателю 25?
Какое число называют дополнительным множителем?
Как найти дополнительный множитель?
Какое число может служить общим знаменателем двух дробей?
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?

Выполните упражнения

275. Приведите дробь:

276. Выразите в минутах, а потом в шестидесятых долях часа:

277. Сколько содержится:

278. Сократите дроби а потом приведите их к знаменателю 24.

279. Можно ли привести к знаменателю 36 дроби:

280. Можно ли представить в виде десятичной дроби:

В каком случае обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной?

281. Запишите в виде десятичной дроби, приведя:

282. Запишите в виде десятичной дроби:

283. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

284. Вычислите устно:

285. Найдите пропущенные числа, если х = 0,8; 0,16; 0,06; 1:

286. На какое число надо умножить 24;8;16;6;12, чтобы получить 48?

287. С помощью транспортира разделите одну окружность на 6, а другую — на 3 равные дуги. Постройте многоугольники, изображённые на рисунке 14.

Рис. 14

У каждого из этих многоугольников равны стороны и равны углы. Такие многоугольники называют правильными. Подумайте, является ли правильным многоугольником прямоугольник; квадрат.

288. Сократите:

289. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократите дробь:

290. При каком значении х верно равенство:

291. Жук ползёт вверх по стволу дерева (рис. 15) со скоростью 6 см/с. По тому же дереву ползёт вниз гусеница.

Рис. 15

Сейчас она находится на 60 см ниже жука. С какой скоростью ползёт гусеница, если через 5 с расстояние между ней и жуком будет 100 см?

292. Космический корабль «Вега-1» двигался к комете Галлея со скоростью 34 км/с, а сама комета двигалась ему навстречу со скоростью 46 км/с. Какое расстояние было между ними за 15 мин до встречи?

293. Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 5, 6, 8? Есть ли среди них числа, кратные трём? кратные девяти?

294. Сократите:

295. Найдите значение выражения:

296. Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора:

111 - ((0,9744 : 0,24 + 1,02) • 2,5 - 2,75);
200 - ((9,08 - 2,6828 : 0,38) • 8,5 + 0,84).

297. Приведите дробь:

298. Представьте в виде десятичной дроби:

299. Сократите дроби а потом приведите их к знаменателю 60.

300. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

301. Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что они встретились через 2,5 ч после своего выхода.

302. Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 ч после своего выхода.

303. Выполните действия:

а) 62,3 + (50,1 - 3,3 • (96,96 : 9,6)) • 1,8;
б) 51,6 + (70,2 - 4,4 • (73,73 : 7,3)) • 1,6.