Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

28. Смешанные числа

Разделить поровну 5 одинаковых апельсинов между тремя детьми можно двумя способами.

Во-первых, можно разделить между ними поровну каждый апельсин (рис. 131, а). Тогда один ребёнок получит по 5 частей, а каждая из этих частей равна целого апельсина (рис. 131, б). Поэтому каждый ребёнок получит апельсина.

Рис. 131

Во-вторых, можно сначала дать каждому из детей по целому апельсину, а оставшиеся 2 апельсина разделить между ними поровну (рис. 132, а). Тогда каждый из детей получит 1 + апельсина (рис. 132, б).

Рис. 132

Сумму 1 + принято записывать короче: . Запись читают так: «Одна целая две третьих».

Число 1 называют целой частью числа , а число — его дробной частью.

Так как в обоих случаях каждый ребёнок получает одно и то же количество апельсинов, то числа и равны: = .

Чтобы перейти от записи к записи , надо разделить 5 на 3. Получим неполное частное 1 и остаток 2. Число 1 даёт целую часть, а остаток 2 — числитель дробной части.

Пример 1. Выделим целую часть из неправильной дроби .

Решение. Делим 47 на 9. Неполное частное равно 5, а остаток равен 2. Значит, = .

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Для краткости вместо «число в смешанной записи» говорят смешанное число. Смешанное число можно представить и в виде неправильной дроби.

Пример 2. Представим в виде неправильной дроби число .

Решение. Мы знаем, что . Но 5 можно записать в виде дроби со знаменателем 9, а именно: .

Значит,

Вопросы для самопроверки

• Что называют целой частью числа и что — его дробной частью?
• Как найти целую и дробную части неправильной дроби?
• Как записать смешанное число в виде неправильной дроби?

Выполните упражнения

1084. Представьте число в виде суммы его целой и дробной частей:

1085. Запишите в виде смешанного числа сумму:

1086. Выделите целую часть из дробей:

1087. Запишите в виде смешанного числа частные:

7 : 3; 15 : 4; 20 : 7; 87 : 10; 247 : 23; 377 : 18; 249 : 100.

1088. Примите за единичный отрезок длину 6 клеток тетради и отметьте на координатном луче точки с координатами:

1089. За неделю семья израсходовала 8 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля расходовали в среднем в один день?

1090. Турист прошёл 25 км за 4 ч. Найдите его скорость.

1091. Ученик решил 12 уравнений за 40 мин. Сколько минут в среднем он решал каждое уравнение? Сколько секунд он потратил на решение каждого уравнения?

1092. Запишите в виде неправильной дроби числа:

• a)
• б) 2; 4; 5; 27 со знаменателями 7 и 11.

1093. Выразите:

• а) в часах: 1 ч 31 мин, 5 ч 19 мин, 34 мин, 1 сутки 9 ч 16 мин;
• б) в километрах: 2 км 260 м, 15 км 876 м.

1094. Площадь фигуры равна см². Выразите площадь фигуры в виде неправильной дроби. Скольким квадратным миллиметрам равна эта площадь?

1095. У Винни-Пуха несколько банок, вмещающих по кг мёда. Сколько ему понадобится таких банок, чтобы разлить в них кг мёда?

1096. Бревно, длина которого м, распилили на части, по м в каждой. Сколько получилось таких частей?

1097. Вычислите устно:

1098. Представьте числа 2, 1, в виде суммы их половин, четвертей и восьмых по образцу:

1099. Восстановите цепочку вычислений:

1100. Какую часть длины отрезка АВ составляет длина каждого отрезка на рисунке 133?

Рис. 133

1101. Как изменится правильная дробь и как изменится неправильная дробь, если у каждой из них поменять местами числитель и знаменатель?

Рассказы об истории возникновения и развития математики

В старину на Руси использовались монеты достоинством меньше одной копейки: грош — к. и полушка — к. Другие монеты тоже имели названия: 3 к. — алтын, 5 к. — пятак, 15 к. — пятиалтынный, 10 к. — гривенник, 20 к. — двугривенный, 25 к. — четвертак, 50 к. — полтинник.

1102. Подумайте, сколько полушек в алтыне. Сколько грошей в пятаке? Как гривенник можно разменять на алтыны и гроши? Сколько сдачи с пятиалтынного надо получить при покупке стоимостью в гривенник и три гроша? Сколько пятаков в четвертаке? Почему 25 к. называли четвертаком, а 50 к. — полтинником?

1103. Запишите в виде дроби частные 7 : 4, 21 : 11, 2 : 1 и в виде частного дроби .

1104. Длина прямоугольника 8 см, а ширина 3 см. Чему равна площади прямоугольника?

1105. Купили 2 кг 100 г крупы и высыпали её в три банки. В первую банку крупы вошло в 3 раза больше, чем во вторую, а в третью банку насыпали 500 г крупы. Сколько крупы насыпали в первую и сколько во вторую банки?

1106. Два автобуса вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 480 км. Скорость первого автобуса 52 км/ч, а скорость второго 42 км/ч. Пройдя 312 км, первый автобус встретился со вторым. На сколько часов первый автобус вышел раньше второго?

1107. Решите уравнение:

1. (327x - 5295) : 57 = 389;
2. (27х + 11) • 315 = 11 970.

1108. Найдите значение выражения:

1. 10 351 - (12 617 : 31 + 208 • 43);
2. 35 • 309 + 11 638 : 23 - 9321.

1109. Выделите целую часть числа:

1110. Запишите в виде неправильной дроби числа:

• а) 7, 9 и 10 со знаменателем 4;
• б) 2, 3 и 8 со знаменателем 5.

1111. Запишите в виде неправильной дроби:

1112. В первой канистре было в 5 раз больше бензина, чем во второй. Весь бензин из этих канистр вылили в пустой бензобак автомашины. Если в этот бак долить ещё 7 л бензина, то он окажется полным. Сколько литров бензина было в каждой канистре, если ёмкость бензобака 55 л?

1113. С аэродрома вылетел вертолёт со скоростью 210 км/ч. Через 2 ч с этого же аэродрома вылетел вслед за вертолётом самолёт, который через 3 ч после своего вылета перегнал вертолёт на 840 км. Найдите скорость самолёта.

1114. Составьте программу вычисления выражения

883 336 : 218 + 2967 • 305

и найдите его значение.