Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

23. Доли. Обыкновенные дроби

Мама купила арбуз и разрезала его на 6 равных частей (рис. 105): бабушке, дедушке, папе, двум детям и себе. Эти равные части называют долями.

Рис. 105

Так как арбуз разделили на 6 долей, то каждый получил «одну шестую долю арбуза», или, короче, «одну шестую арбуза». Пишут: арбуза.

Длина отрезка АВ (рис. 106) равна 5 см. Значит, 1 см составляет от резка АВ.

Рис. 106

Долю называют половиной, — третью, а — четвертью.

Пирог разрезали на 8 долей (рис. 107). За обедом съели 3 доли. Осталось на блюде 5 долей пирога. Эти пять долей обозначают: пирога.

Рис. 107

Записи вида называют обыкновенными дробями. В дроби число 5 называют числителем дроби, а число 8 — знаменателем дроби.

Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель — сколько таких долей взято.

Числитель дроби пишут над чертой, а знаменатель — под чертой.

Так как 1 м = 10 дм = 100 см, то 1 см = м, 1 дм = м.

Так как 1 кг = 1000 г, то 1 г = кг (одной тысячной килограмма).

Так как 1 т = 1 000000 г, то 1 г = т (одной миллионной тонны).

Дроби можно изображать на координатном луче. На рисунке 108 изображены дроби . Отрезок ОА равен единичного отрезка ОЕ.

Рис. 108

Вопросы для самопроверки

Кусок материала разрезали на 12 равных частей.
Какую долю всего куска составляет каждая часть?
Какую часть куска составят 5 таких долей?
Что показывает знаменатель дроби?
Что показывает числитель дроби?
Какой доле килограмма равен 1 грамм?

Выполните упражнения

884. Какая часть фигуры закрашена (рис. 109)?

Рис. 109

885. Начертите в тетради квадрат со стороной в 6 клеток. Разделите его на три доли. Начертите отдельно треть квадрата.

886. Разделите тремя способами квадрат со стороной 4 см на 4 доли. Начертите четверть квадрата, половину квадрата.

887. Как называется:

а) одна сотая доля метра;
б) одна тысячная доля тонны;
в) одна двадцать четвёртая доля суток;
г) одна шестидесятая доля часа;
д) одна миллионная доля квадратного метра; е) одна миллионная доля кубического метра?

888. Прочитайте записи: отрезка, кг, суток, дороги, дыни, яблока.

889. Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье?

890. Купили дыню массой 2 кг 400 г. Ване отрезали дыни, а Маше дыни. Чему равна масса каждого отрезанного куска? Сколько граммов дыни осталось?

891. Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил этого времени, а на историю оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по истории?

892. Начертите квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его на 3 доли и закрасьте квадрата. Какая часть квадрата осталась незакрашенной?

893. Начертите отрезок длиной 8 см. Отметьте цветным карандашом отрезка. Какая часть отрезка осталась неотмеченной?

При чтении дробей надо помнить: числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т. д.).

Например: одна пятая; две шестых; семь десятых; восемьдесят три сто пятьдесят вторых.

894. Прочитайте дроби:

Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.

895. Запишите в виде обыкновенной дроби:

а) три шестых;
б) одна треть;
в) половина;
г) три четверти;
д) семь десятых;
е) одиннадцать сотых;
ж) одиннадцать сорок восьмых.

896. Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км (рис. 110). Лена прошла по этой дороге 3 км.

Рис. 110

Какую часть дороги она прошла?

Решение. Длина всей дороги равна 8 км. Поэтому 1 км составляет всей дороги, а 3 км — дороги. Значит, Лена прошла дороги.

897. В январе 31 день, а в году 365 дней. Какую часть года составляет январь? апрель? февраль?

898. В январе 1995 года с 1 января по 10 января были зимние каникулы. 15, 22 и 29 января были воскресными днями, а остальные — учебными. Какую часть января составили свободные от учёбы дни? Какую часть составили учебные дни?

899. Площадь поля 16 км². Пшеницей засеяли 11 км², рожью — 5 км². Какая часть поля засеяна пшеницей и какая рожью?

900. Дорога от Фабричного до Отдыха составляет дороги от Фабричного до Ильинского. Чему равно расстояние от Фабричного до Отдыха, если от Фабричного до Ильинского 8 км?

Решение. Разделим всю дорогу на 4 доли (рис. 111). Тогда длина одной доли дороги равна 8 : 4, то есть 2 км. А длина дороги, то есть трёх таких долей, равна 2 • 3, то есть 6 км. Значит, от Фабричного до Отдыха 6 км.

Рис. 111

901. Длина дороги 20 км. Заасфальтировали дороги. Сколько километров дороги заасфальтировали? Сколько осталось заасфальтировать?

902. На базу в Антарктиду доставили 22 собаки. Из всех собак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку?

903. Купили 5 кг 600 г сахара и израсходовали на варенье всего сахара. Сколько сахара пошло на варенье? Сколько сахара осталось?

904. Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 л?

905. Дорога от Фабричного до Кратова равна 5 км, что составляет дороги от Фабричного до Ильинского. Найдите расстояние от Фабричного до Ильинского.

Решение. Так как пять восьмых дороги составляют 5 км, то одна восьмая этой дороги равна 5 : 5, то есть 1 км. А тогда вся дорога в 8 раз длиннее, чем 1 км, то есть имеет длину 1 • 8, или 8 км. Итак, от Фабричного до Ильинского 8 км (рис. 112).

Рис. 112

906. Человек прошёл дороги. Какова длина всей дороги, если он прошёл 4 км?

907. Велосипедист проехал дороги. Какова длина дороги, если он проехал 40 км?

908. Миша исписал 10 страниц тетради, что составляет всей тетради. Сколько страниц в тетради?

909. В куске материи 96 м. Для детского сада взяли этого куска, а для детских яслей куска. Для кого взяли больше материи — для детского сада или для яслей? На сколько метров?

910. Вычислите устно:

911. Десятую часть миллиона уменьшили на 10 000 и результат уменьшили в тысячу раз. Сколько получили?

912. Имеется круг, диаметр которого 10 см. Найдутся ли две точки этого круга, расстояние между которыми: 5 см; 1 см; 10 см; 12 см? Ответьте на те же вопросы для окружности радиусом 5 см.

913. Приведите примеры предметов, имеющих форму окружности; круга; дуги окружности; полукруга.

914. Поставьте вместо многоточия необходимые слова: «Отрезок называется диаметром, если он ... и он ...»

915. Сколько минут:

а) в трети часа;
б) в четверти часа;
в) в половине часа;
г) в десятой доле часа;
д) в двенадцатой доле часа;
е) в шестой доле половины часа?

916. Сколько секунд:

а) в 5 минутах;
б) в четверти часа;
в) в одном часе;
г) в четверти минуты;
д) в трети минуты;
е) в половине минуты?

917. Сколько в действительности времени, если часы, отражённые в зеркале (рис. 113), показывают 9 ч; 8 ч; 6 ч 15 мин; 10 ч 40 мин? Когда часы и их отражение покажут одинаковое время?

Рис. 113

918. Отметьте точки А и В так, что АВ = 5 см. Проведите окружности одинакового радиуса с центрами А и В так, чтобы они:

а) пересекались в двух точках;
б) не имели общих точек.

919. Начертите отрезок ДБ = 6 см. Найдите точки, которые удалены от А и от В на 6 см.

920. Начертите окружность с центром в точке О и радиусом 2 см 6 мм (рис. 114). Отметьте такую точку К, чтобы ОК = 4 см. Найдите с помощью циркуля на окружности точки, удалённые от точки К на 3 см.

Рис. 114

921 Бетонный блок имеет длину 12 дм, ширину 8 дм и высоту 5 дм. Из таких блоков сложили стену длиной 240 дм, шириной 24 дм и высотой 30 дм. Сколько блоков потребовалось для этого?

922. На книжную полку ставят 6 разных книг. Сколькими способами эти книги можно разместить на полке?

923. Решите задачу:

В двух спортивных секциях поровну участников. Если в каждую из них войдут ещё по 2 участника, то всего в них будет 36 человек. Сколько человек занимается в каждой секции?
В трёх классах поровну учащихся. Если в каждый класс добавить ещё по 3 учащихся, то всего в них будет 129 учащихся. Сколько человек учится в каждом классе?

924. Выполните действия:

90 720 : (207 : 23 ¦ 840);
22 624 : 56 • (816 : 8);
14 700 : 21 : 7 ¦ 49;
140 : 10 : (49 : 7) : (10 : 5).

925. Начертите круг радиусом 2 см и закрасьте круга.

926. Из трёхлитрового бидона с молоком взяли 2 л молока. Какую часть всего молока взяли?

927. Площадь квадрата 16 см². Найдите, чему равна площадь:

а) квадрата;
б) половины квадрата.

928. На огороде собрали 42 кг огурцов и всех огурцов засолили. Сколько килограммов огурцов засолили?

929. Мастерская получила 700 м шёлка. Из полученной ткани сшили блузки, а из полученной ткани сшили платья. Сколько метров шелка осталось?

930. До перерыва шахматисты играли всего времени партии. Сколько времени продолжалась партия, если до перерыва шахматисты играли 2 ч?

931. До обеда выгрузили зерна, находившегося в товарном вагоне. Сколько тонн зерна было в вагоне, если выгрузили 42 т?

932. Постройте круг радиусом 5 см. Проведите в нём диаметр АВ. Отметьте на окружности точку М и соедините её с точками А и В. Измерьте: диаметр АВ, отрезок AM, отрезок MB. Какой из этих отрезков самый длинный?

933. Какую часть 1 м³ составляет 1 см³? Какую часть 1 м² составляет 1 см²?

934. Найдите значение выражения:

а) 87619 + 57994 : 271 - 15975 : 75;
б) 532 • 109 - 48016 + 13631 : 43.

Для выражения а) составьте программу и схему вычисления.

935. Разгадайте кроссворд, помещённый на форзаце в конце учебника.

936. Иван Иванович отправился из дому на рыбную ловлю. Три часа он ехал поездом со скоростью 75 км/ч. Потом а ч он шёл пешком со скоростью 5 км/ч, наконец, 2 ч плыл на лодке по озеру со скоростью v км/ч. Какой путь проделал Иван Иванович от вокзала до места рыбалки? Найдите значение получившегося выражения, если:

а) а = 3, v = 6;
б) а = 4, v = 10.

937. Мотоциклист и велосипедист едут навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между ними 272 км, скорость велосипедиста 12 км/ч, а скорость мотоциклиста 56 км/ч?

938. По рисунку 115 найдите площади треугольников ABC, ACD, ABO и ВСО.

Рис. 115

939. У продавца 80 кг яблок. Первый покупатель приобрёл 10 кг яблок, а остальные а покупателей — по 6 кг каждый. Сколько яблок осталось у продавца? Какие значения может принимать а?