Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

12. Деление

Задача. 48 карандашей разложили поровну в 4 коробки. Сколько карандашей лежит в каждой коробке?

Решение. Пусть в каждой коробке лежит х карандашей. Тогда, по условию задачи, х • 4 = 48. Только одно число при умножении на 4 даёт 48. Это число 12. Значит, в каждой коробке лежит 12 карандашей.

Мы по заданному произведению 48 и одному из множителей 4 нашли неизвестный множитель — он равен 12.

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Пишут: 48 : 4 = 12.

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

Так как 1 • a = а, то, по смыслу деления, имеем a : 1 = а и, если а не равно нулю, a : a = 1.

Так как 0 • а = 0, то, по смыслу деления, 0 : а = 0 (если а не равно нулю).

Итак:

При делении любого числа на 1 получается это же число.
При делении числа на это же число получается единица.
При делении нуля на число получается нуль.

Решим уравнение 4х = 144.

По смыслу деления, имеем: х = 144 : 4, то есть х = 36.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Решим уравнение х : 8 = 13.

По смыслу деления, х — произведение множителей 8 и 13. Значит, х = 13 • 8, то есть х = 104.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Решим уравнение 42 : х = 6.

По смыслу деления, число 42 — произведение множителей 6 и х, то есть бx = 42. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: х = 42 : 6, то есть х = 7.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Вопросы для самопроверки

С помощью какого действия находят неизвестный множитель?
Как называют число, которое делят?
Что такое делитель?
Как называют результат деления?
Как найти неизвестное делимое?
Как найти неизвестный делитель?
Чему равно a : 1; a : a; О : a?

Выполните упражнения

464. При каких значениях буквы верно равенство:

a) х • 94 = 846;
б) 74 • у = 4292?

465. Найдите значение выражения:

а) 0 : 27;
б) 85 : 1;
в) 87 : 87.

466. Существует ли такое число n, что 0 • n = 6? Можно ли разделить 6 на 0?

467. При каких значениях m верно равенство 0 • m = 0? Можно ли из этого равенства найти единственное значение m? Можно ли разделить 0 на 0?

468. Во время уборки урожая с первого участка собрали 612 т пшеницы, что в 4 раза больше, чем с третьего, а со второго — в 3 раза меньше, чем с первого. Сколько тонн пшеницы собрали с трёх участков?

469. Поезд прошёл 336 км за 4 ч, а автобус — 126 км за 3 ч. Во сколько раз скорость автобуса меньше скорости поезда?

470. За 25 дней завод должен изготовить по плану 2100 станков. Ежедневно сверх плана выпускали 21 станок. За сколько дней был выполнен план?

471. Проверьте с помощью умножения и с помощью деления, правильно ли выполнено деление:

а) 9963 : 27 = 369;
6) 44950:725 = 62.

472. Выполните деление:

а) 84 : 6;
б) 216 : 12;
в) 180 909 : 9;
г) 45 700 : 10;
д) 595 ООО : 100;
е) 370 000 : 1000;
ж) 13 400 : 200;
з) 8517 : 17;
и) 97 500 : 125;
к) 28 085 : 137;
л) 4 645 671 : 8493;
м) 22 914 000 : 6030.

473. Запишите частное:

а) 96 и 8;
в) а + 16 и 32;
б) 35 и х;
г) 14 и а + 2х;
д) 150 и 2х + у;
е) а + b и а - b.

474. Прочитайте следующие выражения:

а) 18 : а;
б) (х + у) : 539;
в) (а + b) : (х - у);
г) (х + у) : m.

475. Укажите делимое и делитель в частном:

а) (254 + 781) : (97 - 92);
б) (3 - а) : m;
в) (х + у) : (m + 3);
г) х : (у - 9).

476. Пусть цена пары ботинок х р., а цена пары сапог у р. Что означают выражения:

у : х; 8у : х; х + 3у?

477. Пусть цена 1 кг сахара х р., а стоимость а кг сахара у р. Что означает выражение:

а) у : х;
б) у : а;
в) х • а?

478. Составьте задачу с величинами «скорость», «время», «путь» по выражению:

а) 150 : 5;
б) 65 • 4;
в) 900 : 150;
г) 36 : 12.

По тем же выражениям составьте задачу с величинами «стоимость товара», «цена», «количество товара».

479. Двое рабочих изготовили вместе 280 оконных рам. Один из них работал 14 дней по 7 ч в день, а другой — 7 дней по 6 ч. Сколько рам изготовил каждый из них, если они за 1 ч работы изготавливали одинаковое число рам?

480. На мельницу привезли 9600 кг пшеницы. При размоле отходы составили 1200 кг. Муку насыпали в мешки и погрузили на 3 машины. На первую погрузили 30 мешков, на вторую — 35 мешков, а на третью — 40 мешков. Сколько килограммов муки погрузили на первую машину, если во всех мешках муки было поровну?

481. Найдите значение выражения:

а) 7585 : 37 + 95;
б) (6738 - 834) : 123;
в) 91 793 : 307 : 23 + 77;
г) 1092 : 39 • 25 - 15.

482. Решите уравнение:

a) 35x = 175;
б) y • 127 = 1524;
в) z : 35 = 18;
г) 168 : v = 4.

483. При каком значении буквы верно равенство:

а) 25 : а = 25;
б) m : 14 = 1;
в) 1 : n = 1;
г) р : 1 = 1;
д) k : 5 = 0;
е) I : I = 1?

484. Периметр восьмиугольника 24 см (рис. 49). Составьте уравнение и решите его. Что означает корень этого уравнения?

Рис. 49

485. Решите уравнение:

а) 25z + 49 = 149;
б) 13 + 10t = 163;
в) 9у - 54 = 162;
г) 181 - 8r = 45.

486. Решите задачу с помощью уравнения:

а) Для покраски стен потребовалось 4 одинаковые банки белил и ещё 3 кг зелёной краски. Всего израсходовали 19 кг краски. Сколько килограммов белил было в каждой банке?
б) Для перевозки 35 т угля выделили несколько грузовиков. На каждый грузовик погрузили по 4 т угля, после чего осталось перевезти ещё 7 т угля. Сколько машин было выделено?

487. Решите уравнение:

а) (х - 12) • 8 = 56;
б) 24 • (z + 9) = 288;
в) (у + 25) : 8 = 16;
г) 124 : (у - 5) = 31;
д) 38x + 15 = 91;
е) 44 : z + 9 = 20.

488. Найдите значение х по рисунку 50.

Рис. 50

489. Решите задачу с помощью уравнения:

а) Я задумал число. Если его разделить на 4, а потом от частного отнять 2, то получится 7. Какое число я задумал?
б) 40 кг белил разлили в несколько банок, а потом в каждую банку добавили 2 кг красной краски. В каждой банке оказалось 7 кг краски. Сколько было банок?
в) Для отправки детей в лагерь было заказано несколько автобусов. В них поровну рассадили 270 детей. Кроме детей в каждый автобус сели по двое взрослых. Сколько было автобусов, если в каждом находилось 47 пассажиров?

490. Зная, что произведение 126 и 35 равно 4410, выполните деление или решите уравнение:

а) 4410 : 126;
б) 4410 : 35;
в) 35x = 4410;
г) 126у = 4410;
д) m : 35 = 126;
е) р : 126 = 35;
ж) 4410 : k = 126;
з) 4410 : t = 35.

491. Зная, что 11 172 : 98 = 114, выполните действие или решите уравнение:

а) 11 172 : 114;
б) 98 • 114;
в) а : 114 = 98;
г) b : 98 = 114;
д) 11 172 : с = 98;
е) 11 172 : m = 114;
ж) 114z = 11 172;
з) 98k = 11 172.

492. Составьте равенство по тексту задачи:

а) У Люды было m слив, у Нади — на 6 слив больше, а у Стёпы — на 9 слив меньше, чем у Нади. Когда сложили сливы и поделили поровну, каждому досталось по 14 слив.
б) В одном классе n учеников, в другом — на 8 учеников больше, чем в первом, а в третьем — на 4 ученика меньше, чем во втором. Все ученики этих трёх классов поехали на экскурсию в трёх автобусах, причём в каждый автобус сели по 24 ученика.

493. Вычислите устно:

494. Подумайте, как проще выполнить умножение, и вычислите:

а) 19 • 2 • 5;
6) 4 • 27 • 25;
в) 13 • 6 • 50.

495. Найдите произведение наименьшего четырёхзначного числа и десяти. Найдите частное этих же чисел.

496. Угадайте корни уравнения:

а) 15 • а = 15 : а;
б) z + z = z • z;
в) у • 10 = у : 10.

497. И сумма, и произведение трёх натуральных чисел равны 6. Какие это числа?

498. Во дворе гуляют куры, петухи и утки — всего 21 птица. Петухов в 10 раз меньше, чем кур. Сколько во дворе уток?

499. Представьте в виде суммы произведение:

а) (а + Ь) • 3;
б) (2а - m) • 5;
в) (5х + 2у) • 6.

500. Запишите произведение:

а) 7х и За + 11;
б) 2m + 5n и За - 12b.

501. Подчеркните множители в произведении:

а) (х + 3у) • (5а + b);
б) (b - Зх) • (х - 5у);
в) 4ах(у + 3b);
г) 7mnk.

502. Заполните таблицу:

503. На машину погрузили m ящиков. В каждом ящике было 70 коробок, а в каждой коробке n цветных карандашей. Сколько всего карандашей погрузили в машину? Составьте выражение и найдите его значение при:

а) m = 15, n = 6;
б) m = 12, n = 24.

504. Решите уравнение:

а) (х + 155) - 35 = 145;
б) 168 - (98 + z) = 65;
в) (853 + у) - 53 = 900;
г) (s + 275) - 275 = 384.

505. Запишите в виде равенства предложение и узнайте, при каком зна- (дТ7 чении буквы оно будет верным:

сумма х и 408 больше числа 312 на 501;
число 700 больше суммы 45 и у на 398;
разность 145 и m меньше числа 650 на 533;
число 661 меньше разности 800 и n на 89.

506. Масса слона на 24 т 700 кг меньше массы кита. Какова масса кита, если масса слона 5 т 800 кг?

507. На заводе за один месяц выпустили 2120 велосипедов, а за следующий — на 250 больше. Сколько велосипедов выпустили за два месяца?

508. Найдите периметр треугольника ЛВС, если ВС вдвое длиннее, чем АС, АВ = 2 см 8 мм, АС на 9 мм короче, чем АВ.

509. Длина беговой дорожки вокруг поля стадиона 400 м. За 6 мин 40 с Андрей пробежал 4 круга, а Николай — 5 кругов. На сколько метров в секунду скорость Николая больше скорости Андрея?

510. У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил съездить в зоопарк. От дома до зоопарка Борис может доехать на метро, трамваем или автобусом, а от зоопарка до бассейна — автобусом, троллейбусом или на метро. Сколькими способами Борис может доехать от дома до бассейна, посетив зоопарк?

511. Патрульный милицейский вертолёт во время наблюдения за движением транспорта летел вдоль шоссе 16 мин, а затем увеличил скорость и летел ещё 34 мин в том же направлении. Какой длины участок шоссе облетел за это время вертолёт, если его скорость вначале была 1200 м/мин, а затем 1500 м/мин?

512. Решите с помощью уравнения задачу:

Длина линии ABCD (рис. 51) равна 3 дм 5 см. Каждый из отрезков АВ и CD имеет длину 1 дм 2 см. Чему равна длина отрезка ВС?
Длина линии ABCD (рис. 51) равна 7 дм 2 см. Каждый из отрезков АВ и CD имеет длину 2 дм 3 см. Найдите длину отрезка ВС.

Рис. 51

513. Выполните действия:

203 • 26 - (3292 + 2579) : 57;
2072 : 37 + (2626 - 2419) • 27.

514. За 12 ч поезд прошёл 648 км. С какой скоростью шёл поезд?

515. Шесть одинаковых по длительности сеансов радиосвязи продолжались 1 ч 12 мин. Какова длительность одного сеанса?

516. Один завод выпускает 132 наименования изделий, а другой — на 88 меньше. Во сколько раз больше наименований изделий выпускает первый завод по сравнению со вторым?

517. Выполните деление:

а) 30 970 : 38;
б) 142 593 : 33;
в) 5 154 324 : 903;
г) 745 500 000 : 3500.

518. Запишите выражение:

а) произведение числа 9 и суммы а и 11;
б) частное от деления числа 114 на разность m и n;
в) частное от деления суммы 8 и с на разность 76d и 4.

519. За 3 ч работы один экскаватор вынул 555 м³ земли. Сколько кубических метров земли вынет второй экскаватор за 4 ч, если в час он вынимает на 15 м³ больше, чем первый?

520. Две бригады, работая вместе, заготовили 1320 т силоса. Ежедневно одна бригада заготовляла 20 т силоса, а другая — 35 т. Сколько силоса заготовила каждая бригада?

521. Один рабочий работал 3 дня, по 7 ч в день, а другой — 2 дня, по 8 ч в день. Вместе они изготовили 481 деталь. Сколько деталей изготовил каждый рабочий, если за час они изготовляли деталей поровну?

522. Периметр треугольника ABC равен 62 см. ВС = 17 см, АВ = СА. Найдите длину стороны АВ.

523. Найдите значение выражения k : 19 - 95 при k = 5719. Является ли число 5719 корнем уравнения k : 19 - 95 = 206?

524. Решите уравнение:

а) 37x = 259;
б) 252: у = 21;
в) г: 18 = 6;
г) (38 + Ь) • 12 = 840;
д) 14(р - 30) = 630;
е) (43 - s) • 17 = 289.

525. Составьте уравнение по рисунку 52 (масса гирь дана в килограммах) и найдите массу каждого пакета.

Рис. 52

526. Составьте задачу по уравнению:

а) 120 - х = 45;
б) 160 - 2у = 40.

527. Найдите значение выражения:

а) (1878 + 9567 - 6413) : 68;
б) (23 223 - 8354 - 8653) : 84.

528. Поговорите со своими родителями, бабушками и дедушками, со знакомыми взрослыми и постарайтесь узнать, нужна ли им в работе, в жизни математика, можно ли стать хорошим специалистом, не зная математики.