Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

10. Уравнение

Задача. На левой чашке весов лежат арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке — гиря в 5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нам надо найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания, таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Например, корнем уравнения х + 2 = 5 является число 3.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Пример 1. Решим уравнение х + 12 = 78.

Решение. По смыслу вычитания, неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого.

Поэтому х = 78 - 12, то есть х = 66.

Число 66 является корнем уравнения х + 12 = 78, потому что 66 + 12 = 78.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое (рис. 44, а).

Рис. 44

Пример 2. Решим уравнение у - 8 = 11.

Решение. По смыслу вычитания, у является суммой чисел 11 и 8. Значит, у = 11 + 8, то есть у = 19.

Число 19 является корнем уравнения у - 8 = 11, так как верно равенство 19 - 8 = 11.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность (рис. 44, б).

Пример 3. Решим уравнение 15 - z = 9.

Решение. По смыслу вычитания, число 15 является суммой z и 9, то есть z + 9 = 15. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 15 - 9, то есть z = 6.

Число 6 является корнем уравнения 15 - z = 9, так как верно равенство 15 - 6 = 9.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность (рис. 44, в).

Вопросы для самопроверки

• Какое равенство называют уравнением?
• Какое число называют корнем уравнения?
• Что значит решить уравнение?
• Как проверить, верно ли решено уравнение?
• Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?

Выполните упражнения

372. Решите уравнение:

• а) x + 37 = 85;
• б) 156 + у = 218;
• в) 85 - 2 = 36;
• г) m - 94 = 18;
• д) 2041 - n = 786;
• е) р - 7698 = 2302.

373. Решите с помощью уравнения задачу:

• а) В корзине было несколько грибов. После того как в неё положили ещё 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?
• б) В мотке было несколько метров проволоки. После того как отрезали 9 м, осталось 25 м. Сколько метров проволоки было в мотке?
• в) Электропоезд был в пути 1 ч 15 мин. Некоторое время он затратил на остановки, а двигался 46 мин. Сколько времени затрачено на остановки?
• г) В спортивном лагере 322 человека. Когда несколько человек ушли в поход, в лагере осталось 275 человек. Сколько человек ушли в поход?
• д) Скорость автомашины уменьшили на 45 км/ч, и она стала равной 35 км/ч. Какова была скорость машины раньше?
• е) Через 9 лет Вите исполнится 20 лет. Сколько лет ему сейчас?

374. Составьте уравнение по рисунку 45 и решите его.

Рис. 45

375. Решить уравнение (у + 64) - 38 = 48 можно двумя способами:

1. сначала найти неизвестное уменьшаемое у 4- 64:

   у + 64 = 48 + 38, у + 64 = 86,

   а потом найти неизвестное слагаемое у:

   у = 86 - 64, у = 22

   или

2. сначала упростить выражение, стоящее в левой части уравнения, использовав свойства вычитания:

   у + 64 - 38 = 48, у + 26 = 48,

   а затем найти неизвестное слагаемое у:

   у = 48 - 26, у = 22.

Подобным образом решите двумя способами уравнение:

• а) (л: + 98) + 14 = 169;
• б) (35 + у) - 15 = 31.

376. Решите уравнение и выполните проверку:

• а) (х + 15) - 8 = 17;
• б) (24 + х) - 21 = 10;
• в) (45 - у) + 18 = 58;
• г) (у - 35) + 12 = 32;
• д) 56 - (х + 12) = 24;
• е) 55 - (х - 15) = 30.

377. Решите с помощью уравнения задачу:

• а) Витя задумал число. Если к этому числу прибавить 23 и к полученной сумме прибавить 18, то будет 52. Какое число задумал Витя?
• б) Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 14 и от полученной суммы отнять 12, то будет 75. Какое число задумала Маша?
• в) В бензобак, где был бензин, перед поездкой долили ещё 39 л. Во время поездки израсходовали 43 л бензина, после чего в бензобаке осталось 27 л. Сколько литров бензина было в бензобаке первоначально?
• г) В ателье было 60 м ткани. Из неё сшили платья, ещё 16 м израсходовали на детские костюмы, после чего осталось 20 м этой ткани. Сколько метров ткани пошло на платья?

378. Запишите в виде равенства:

• а) У Вани было х яблок, у Пети — на 8 яблок больше, а у Нины — на 3 яблока меньше, чем у Вани. Вместе у них было 41 яблоко.

• б) Один токарь выточил у деталей, другой — на 7 деталей больше, чем первый, а третий — на 8 деталей меньше, чем второй. Вместе они сделали 81 деталь.
• в) У Кости n открыток, у Игоря — на 8 открыток меньше, чем у Кости, а у Наташи — на 15 открыток больше, чем у Кости. У Наташи столько же открыток, сколько у Кости и Игоря вместе.
• г) В первый сосуд налили m л жидкости, во второй — на 7 л меньше, чем в первый, а в третий сосуд — на 10 л больше, чем во второй. В третьем сосуде оказалось столько жидкости, сколько в первом и втором сосудах вместе.

379. Сумма 3986 + 5718 равна 9704. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или корень уравнения:

• а) 9704 - 3986;
• б) 9704 - 5718;
• в) х + 5718 = 9704;
• г) 3986 + у = 9704;
• д) 9704 - х = 3986;
• е) 9704 - v = 5718.

380. Разность 6877 - 2984 равна 3893. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или решите уравнение:

• а) 2984 + 3893;
• б) 6877 - 3893;
• в) х - 3893 = 2984;
• г) 6877 - х = 2984.

381. Вместо звёздочек в записи вычислений цепочкой поставьте необходимые числа.

382. Вычислите устно:

383. На координатном луче даны точки A(18), В(7), С(31), D(27), Е(23), O(0). Какие из этих точек:

• а) левее точки Е и на сколько единичных отрезков;
• б) правее точки А и на сколько единичных отрезков;
• в) расположены между точками В и D?

384. Что больше и во сколько раз:

• а) два часа или сорок минут;
• б) десять центнеров или две тонны;
• в) шесть сантиметров или двадцать миллиметров?

385. В бидоне 24 л молока. Для приготовления завтраков израсходовали четвёртую часть молока, а для приготовления обедов — половину оставшегося молока. Сколько литров молока осталось в бидоне?

386. Найдите пропущенное число:

387. Вместо некоторых цифр поставлены звёздочки. Можно ли сравнить числа:

• а) 32** и 31**;
• б) *1** и 8**;
• в) **** и ***;
• г) *5* и 1**?

388. Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградово — три дороги. Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградово через село Большово?

Решение. Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа:

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 • 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградово.

389. Немецкого учёного Карла Гаусся называли королём математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трёхлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчёты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ, на его грифельной доске было написано: 101 • 50 = 5050.

Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

390. Из проволоки длиной 15 м делают обручи длиной 2 м. На сколько обручей хватит проволоки? Можно ли изготовить 4 обруча? 8 обручей?

391. Вычислите, выбирая удобный порядок выполнения действий:

• а) 937 - (137 + 793)
• б) (654 + 289) - 254
• в) 854 + (249 - 154)
• г) (747 + 896) - 236;
• д)(348 + 252) - 299;
• е) (227 + 358) - (127 + 258).

392. На одной грядке посадили 30 кустов клубники, а на другой k кустов. Погибло 6 кустов. Сколько кустов клубники осталось на грядках? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при k = 26; 35.

393. Найдите значение выражения, предварительно упростив его:

• а) (b + 179) - 89 при b = 56; 75;
• б) (839 + с) - 239 при с = 37; 98;
• в) (256 - х) - 156 при х = 44; 87;
• г) 238 - (38 + а) при а = 78; 0.

394. Найдите значение выражения:

1. 34 • 27 + 1638 : 39;
2. 32 • 37 - 3293 : 37;
3. (321 - 267) • (361 - 215) : 219;
4. (123 + 375) ¦ 24 : (212 - 129).

395. Решите уравнение:

• а) 395 + х = 864;
• б) z + 213 = 584;
• в) 300 - у = 206;
• г) t - 307 = 308;
• д) 166 = m - 34;
• е) 59 = 81 - k.

396. Решите уравнение и выполните проверку:

• а) (х - 87) - 27 = 36;
• б) 87 - (41 + у) = 22.

397. Решите с помощью уравнения задачу:

• а) Продолжительность дня с 7 октября до 19 ноября уменьшилась на 3 ч и стала равной 8 ч. Какой была продолжительность дня 7 октября?
• б) В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили ещё сахара, в нём стало 900 г. Сколько граммов сахара добавили в пакет?
• в) На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек. На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей — вышли 12 человек, после чего в автобусе осталось 17 человек. Сколько человек вошли в автобус на первой остановке?

398. Мотоциклист едет из города в село, расстояние до которого 120 км. Сколько километров ему осталось проехать, если он уже проехал а км? Составьте выражение и найдите его значение при а = 40; 60; 80.

399. Купили дюжину (дюжина — 12) бутылок фруктовой воды, а в обмен сдали 8 пустых бутылок. Сколько денег доплатили? Узнайте, сколько стоит бутылка фруктовой воды и сколько пустая бутылка, и решите задачу.

400. Имелось 65 л фруктового сока. Из них 20 л дали детям во время завтрака, а остальной сок разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок для этого потребовалось?

401. Запишите все трёхзначные числа, которые можно записать только с помощью цифр 5, 3 и 0.

402. Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш?

403. Найдите значение выражения:

• а) (37 296 : 37 - 17 780 : 35) : 250;
• б) (504 • 370 - 158 092) : 47 + 1612.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

В наше время почти все народы пользуются счётом десятками, сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления.

В ней, как вы уже знаете, значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной.

Раньше некоторые народы применяли другие системы счёта. В тёплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счёта применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног. Получался счёт двадцатками.

А пять тысяч лет назад в некоторых странах востока пользовались шести-десятеричной системой счисления, то есть системой счисления с основанием 60. Эта система была первой позиционной системой.

На рисунке показано, как в этой системе выглядела запись некоторых чисел.

Следы шестидесятеричной системы счисления сохранились до сих пор: мы и сейчас делим час на 60 минут, а минуту — на 60 секунд.

Использование числа 10 как основания системы счисления связано с тем, что у людей на руках 10 пальцев, которые удобнее всего было использовать при счёте. Но основание системы счисления, конечно, может быть любым числом, например, современные ЭВМ (электронные вычислительные машины) считают в двоичной системе (основание 2), так как при этом используются только два состояния: «есть сигнал» и «нет сигнала».