Геометрия
7-9 классы

§ 2. Длина окружности и площадь круга

Длина окружности

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим её, то получим отрезок АА1 ( длина которого и есть длина окружности (рис. 312).

Рис. 312

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности (рис. 313). Точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Рис. 313

Выведем формулу, выражающую длину окружности через её радиус. Пусть С и С' — длины окружностей радиусов R и R'. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Рn и R'n их периметры, а через аn и а'n — их стороны. Используя формулу (2) из § 1, получаем:

Следовательно,

Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Рn → С, Р'n → С' при n → ∞, то предел отношения равен . С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен Таким образом, Из этого равенства следует, что т. е. отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π (читается «пи»).

Из равенства получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R:

С = 2πR.

Доказано, что π является бесконечной непериодической десятичной дробью, т. е. иррациональным числом. Рациональное число является приближённым значением числа л с точностью до 0,002. Это приближённое значение было найдено ещё в III в. до н. э. великим греческим учёным Архимедом. При решении задач обычно пользуются приближённым значением π с точностью до 0,01: π = 3,14.

Выведем теперь формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α. Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна Поэтому длина l выражается формулой

Площадь круга

Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R.

Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный n-угольник А1А2...Аn, вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. 314). Очевидно, площадь S данного круга больше площади Sn многоугольника А1А2...Аn, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь S'n, круга, вписанного в многоугольник, меньше Sn, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак,

S'n < Sn < S.                 (2)

Рис. 314

Будем теперь неограниченно увеличивать число сторон многоугольника. По формуле (3) § 1 имеем , где rn — радиус вписанной в многоугольник окружности. При n → ∞ , поэтому rn → R. Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому S'n → 5 при n → ∞. Отсюда и из неравенств (2) следует, что Sn → S при n → ∞.

По формуле (1) § 1 , где Рn — периметр многоугольника А1А2...Аn. Учитывая, что rn → R, Рn → 2πR, Sn → S при n → ∞, получаем . Итак, для вычисления площади S круга радиуса R мы получили формулу

S = πR2.

Замечание

В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно.

Площадь кругового сектора

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора. На рисунке 315, а изображены два сектора с дугами ALB и AM В. Первый из этих секторов закрашен.

Рис. 315

Выведем формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой α.

Так как площадь всего круга равна πR2, то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна

Поэтому площадь S выражается формулой

Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги (рис. 315, б).

Если градусная мера дуги меньше 180°, то площадь сегмента можно найти, вычитая из площади сектора площадь равнобедренного треугольника, сторонами которого являются два радиуса и хорда сегмента.

Задачи

1101. Перечертите таблицу и, используя формулу длины С округу, ности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Воспользуйтесь значением π = 3,14.

1102. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?

1103. Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

1104. Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и b; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной а и острым углом α между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см2.

1105. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании α и высотой h, проведённой к основанию.

1106. Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.

1107. 1 метр = 1/40 000 000 часть земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара.

1108. Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км.

1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.

1110. Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо?

1111. Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищённой его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищённой части камня.

Рис. 316

1112. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см.

1113. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?

1114. Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением π = 3,14.

1115. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

1116. Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом α; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию.

1117. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом α; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом α, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом α.

1118. Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола.

1119. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены.

1120. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, R1 < R2. Вычислите площадь кольца, если R1 = 1,5 см, R2 = 2,5 см.

1121. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?

1122. Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка?

1123. Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

1124. На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени.

1125. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

1126. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.

1127. Площадь сектора с центральным углом 72° равна S. Найдите радиус сектора.

1128. Сторона квадрата, изображённого на рисунке 317, равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Рис. 317

Ответы

    1101. 1) 25,12; 2) 18,84; 3) 13,06; 4) 9; 5) 4,40; 6) 1; 7) 637,42; 8) 14,65; 9) 0,45.

    1102. а) Увеличится в три раза; б) уменьшится в два раза; в) увеличится в k раз; г) уменьшится в k раз.

    1103. а) Увеличится в k раз; б) уменьшится в k раз.

    1104. а) ; б) ; в) ; г) ; д) 8π.

    1105. а) πа; б) πс(√2 - 1); в) πс (sin α + cos α - 1); г)

    1106. 63 см.

    1107. ≈ 12 739 км.

    1108. ≈ 42 013 км.

    1109. а) π см; б) π см; в) 2π см; г) 3π см.

    1110. 30.

    1111. ≈ 59,2 см.

    1112. ≈ 36,2 см.

    1113. ≈ 4°35'.

    1114. 1) 12,56; 2) 78,5; 3) 1,69; 4) 0,26; 5) 7; 6) 9258,26; 7) 9,42; 8) 1,41.

    1115. а) Увеличится в k2 раз; б) уменьшится в k2 раз.

    1116.

    1117. а) ; б) ; в); г) .

    1118. ≈ 34,2 м2.

    1119. D ≈ 13,06 м. S ≈ 1.33,81 м2.

    1120. 4π см2.

    1121. 0,75 мм.

    1122. 5,6π дм3 = 17,6 дм3.

    1123. r2 (π - 2).

    1124. Площадь наименьшего круга равна π, а площади колец равны 3π, 5π, 7π.

    1126. ≈ 262 см2.

    1127.

    1128.


Рейтинг@Mail.ru