Геометрия
7-9 классы

Вопросы для повторения к главе XI

1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

2. Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°.

3. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?

4. Что называется котангенсом угла α? Для каких значений a котангенс не определён и почему?

5. Докажите основное тригонометрическое тождество.

6. Напишите формулы приведения.

7. Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох.

8. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

9. Сформулируйте и докажите теорему синусов.

10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

11. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.

12. Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.

13. Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.

14. Объясните, что означают слова «угол между векторами и равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

15. Какие два вектора называются перпендикулярными?

16. Что такое скалярное произведение двух векторов?

17. В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0?

18. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.

19. Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {x1; у1} и {х2; у2}.

20. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

21. Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов.

22. Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач.

Дополнительные задачи

1057. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.

1058. Найдите площадь треугольника АВС, если:

    а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C=72°;
    б) ВС = 4100 м, ∠A = 32°, ∠C = 120°.

1059. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

1060. Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если:

    а) АВ = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°;
    б) АВ = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°;
    в) АВ = Зсм, ВС = 3,3 см, ∠A = 48°30';
    г) АС = 10,4 см, ВС = 5,2 см, ∠B = 62°48'.

1061. Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если:

    а) АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ∠A = 135°;
    б) АВ - 2√2 дм, ВС = 3 дм, ∠B = 45°;
    в) АС = 0,6 м, ∠C = 150°.

1062. В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, .ЕВ = 9,9 дм, DF = 70 см. Найдите углы треугольника.

1063. Найдите биссектрису AD треугольника АВС, если ∠A = a, АВ = с, АС = b.

1064. Чтобы определить расстояние между точками А и В, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите АВ, если AC = b, СВ = а, ∠ACB = a.

1065. Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

1066. Найдите длину вектора = 3 -4, где и — координатные векторы.

1067. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах если и .

1068. При каком значении х векторы и перпендикулярны, если || = 2, || = 5 и

1069. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.

1070. В трапеции ABCD с основаниями АО= 16 см и ВС = 8 см боковая сторона равна 4√7 см, a ∠ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции.

1071. В треугольнике АВС, площадь которого равна 3√3, угол А острый, АВ = 4√3, АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

1072. Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = a. Найдите площадь данного ромба.

Применение скалярного произведения векторов к решению задач

1073. Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (-1; 2), В (1; -2), С (2; 0), D (1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь.

Решение

Векторы имеют координаты: Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. По координатам векторов находим их длины: АD = √20, ВС = √5. Таким образом, AD || BC и AD > BC, следовательно, ABCD — трапеция с основаниями АО и ВС. Пусть S — площадь трапеции ABCD. Согласно утверждению задачи 1059, где α — угол между АС и ВО. По формуле (5) § 3 найдём сначала . Так как то АС = у√13, BD = 8 и Отсюда следует, что Таким образом,

1074. Точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС и ВМ = kMC. Докажите, что

    (1 + k)2 AM2 = k2b2 + 2bck cos A + c2,

где b = AC, с = AB.

Решение

По условию задачи М лежит на отрезке ВС и ВМ = kMC, поэтому или Следовательно,

По правилу треугольника сложения векторов , или

.

Таким образом,

Отсюда получаем:

Так как

то полученная формула совпадает с искомой формулой.

1075. В треугольнике АВС отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = АС, с = АВ. Докажите, что:

1076. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.

1077. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.

Ответы к дополнительным задачам

1057.

1058. а) ≈ 6,254 м2; б) ≈ 6 449 073 м2.

1060. а) ∠C= 105°, АС ≈ 6 см, ВС ≈ 4 см; б) ∠A ≈ 75°, ВС ≈ 6 см, АС ≈ 4 см; в) АС ≈ 42°55', ∠B ≈ 88°35', АС ≈ 4 см; г) ∠A ≈ 26°22', ∠C ≈ 90°50', АВ ≈ 11,7 см.

1061. а) ВС ≈ 12 см, ∠C ≈ 17°45', ∠B ≈ 27°15'; б) АС = √5 дм, ∠A ≈ 71°34', ∠C ≈ 63°26'; в) АВ ≈ 6,4 дм, ∠A ≈ 2°, ∠B ≈ 28°.

1062. ∠D ≈ 117°10', ∠E ≈ 38°59', ∠F ≈ 23°51'.

1063. Указание. Воспользоваться формулой площади треугольника (п. 100).

1064.

1065.

1066. 5.

1067. 15 и ≈ 24,4.

1068. x = 40.

1069. 36°51'.

1070. 72√3 см2; 12см.

1071. 421. Указание. Воспользоваться задачей 1033.

1072.

1075. Указание, а) Воспользоваться задачами 535 и 1074; б) воспользоваться задачей 1074.

1077. Указание, а) Воспользоваться задачей 1033; б) пусть А1В1С1 и А2В2С2 — данные подобные треугольники, а О1 и O2 — центры вписанных окружностей. Сначала доказать, что ΔА1О1В1ΔА2О2В2.


Рейтинг@Mail.ru