|
|
Учебник для 7-9 классов Геометрия§ 3. Скалярное произведение векторовУгол между векторамиПусть и — два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы и . Если векторы и не являются сона- правленными, то лучи О А и О В образуют угол АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами и равен α. Ясно, что α не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и (пользуясь рисунком 300, докажите это).
Если векторы и сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между векторами и равен 0°. Угол между векторами и обозначается так:
Рис. 300 На рисунке 301 углы между векторами равны соответственно: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. На рисунке 301
Рис. 301 Скалярное произведение векторовМы знаем, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается так: • или По определению
Если векторы и перпендикулярны, т. е. то и поэтому • = 0. Обратно: если • = 0 и векторы и ненулевые, то из равенства (1) получаем и, следовательно, т. е. векторы и перпендикулярны. Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Из формулы (1) также следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда На рисунке 302 поэтому Если то по формуле (1) получаем В частности,
Рис. 302 Скалярное произведение • называется скалярным квадратом вектора обозначается 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними:
Рис. 303 Правая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов и , т. е. работа А силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: Скалярное произведение в координатахСкалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Теорема
Доказательство Если хотя бы один из векторов и нулевой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы и ненулевые. Отложим от произвольной точки О векторы Если векторы и не коллинеарны (рис. 304, а), то по теореме косинусов АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2OА • ОВ • cos α. (3) Это равенство верно и в том случае, когда векторы и коллинеарны (рис. 304, б, в).
Рис. 304 Так как то равенство (3) можно записать так:
Векторы , и - имеют координаты {x1; y1}, {х2; у2} и {х2 - х1; у2 - у1}, поэтому
Подставив эти выражения в правую часть равенства (4), после несложных преобразований получим формулу (2). Теорема доказана. Следствие 1
Следствие 2
В самом деле, так как cos α, то Подставив сюда выражения для • || и || через координаты векторов и получим формулу (5). Свойства скалярного произведения векторовСкалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
Утверждение 10 непосредственно следует из формулы а утверждение 20 — из определения скалярного произведения. Докажем Утверждения 30 и 40. Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов так:
Используя формулу (2), получаем
Утверждение 30 доказано. Докажем теперь утверждение 40. Вектор имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому
Замечание Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,
Задачи1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: 1040. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: 1041. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 2, || = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°. 1042. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
1043. К одной и той же точке приложены две силы , действующие под углом 120° друг к другу, причём . Найдите величину равнодействующей силы . 1044. Вычислите скалярное произведение векторов и , если:
1045. Докажите, что ненулевые векторы {х; у} и {-у; х} перпендикулярны. 1046. Докажите, что векторы + и - перпендикулярны, если и — координатные векторы. 1047. При каком значении х векторы и перпендикулярны, а) {4; 5}, {x; -6}; б) {x; -1}, {3; 2}; в) {0; -3}, {5; x}? 1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В (-1; 5), С (3; 1). 1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В (1; -√3) и . 1050. Вычислите | + | и | - |, если || = 5, |, 1051. Известно, что , ||=1, . Вычислите . 1052. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 5, || = 2, . 1053. Вычислите скалярное произведение векторов и и где — единичные взаимно перпендикулярные векторы. Применение скалярного произведения векторов к решению задач1054. Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны. Решение Точка М — середина отрезка ВС, поэтому . Отсюда получаем
или 4AM2 = АВ2 + АС2 + 2 АВ • АС • cos А. Второе утверждение задачи докажите самостоятельно. 1055. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Решение Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и AA1, ВВ1 — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения , . Тогда поэтому
По условию задачи АA1 ⊥ BB1 и, следовательно, . Далее, • = a2 cos С, • = а2, • = а2, поэтому равенство (6) принимает вид 0 = 5а2 cos С - 4а2. Отсюда получаем ∠C ≈ 36°52'.
1056. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Ответы к задачам1039. а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°. 1040. а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°; д) 0°; е) 180°. 1041. а) 3√2; б) 0; в) -3√2. 1042. в) 0; г) а2. 1043. 13. 1044. а) -2,5; б) 0; в) 5. 1047. а) x =7,5; в) х = 0. 1048. cos В = 0, . 1049. ∠A ≈ 60°, ∠B ≈ 21°47', ∠C ≈ 98°13'. 1050. √129 и 7. 1051. 3. 1052. 13. 1053. -5.
|
|
|