Геометрия
7-9 классы

§ 3. Скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Пусть и — два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы и . Если векторы и не являются сона- правленными, то лучи О А и О В образуют угол АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами и равен α. Ясно, что α не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и (пользуясь рисунком 300, докажите Это). Если векторы и сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между векторами и равен 0°. Угол между векторами и обозначается так:

Рис. 300

На рисунке 301 углы между векторами равны соответственно:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. На рисунке 301

Рис. 301

Скалярное произведение векторов

Мы знаем, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается так: или

По определению

Если векторы и перпендикулярны, т. е. то и поэтому = 0. Обратно: если = 0 и векторы и ненулевые, то из равенства (1) получаем и, следовательно, т. е. векторы и перпендикулярны.

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) также следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда

На рисунке 302 поэтому

Если то по формуле (1) получаем В частности,

Рис. 302

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора обозначается 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними:

Рис. 303

Правая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов и , т. е. работа А силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:

Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов α {x1; y1) и β {х2; у2} выражается формулой

Доказательство

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы и ненулевые. Отложим от произвольной точки О векторы Если векторы и не коллинеарны (рис. 304, а), то по теореме косинусов

    АВ2 = ОА2 + ОВ2 - 2OА • ОВ • cos α.             (3)

Это равенство верно и в том случае, когда векторы и коллинеарны (рис. 304, б, в).

Рис. 304

Так как то равенство (3) можно записать так:

Векторы , и - имеют координаты {x1; y1}, {х2; у2} и {х2 - х1; у2 - у1}, поэтому

Подставив эти выражения в правую часть равенства (4), после несложных преобразований получим формулу (2). Теорема доказана.

Следствие 1

Ненулевые векторы {x1; y1} и 2; у2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0.

Следствие 2

Косинус угла α между ненулевыми векторами 1; у1} и 2; у2} выражается формулой

В самом деле, так как cos α, то

Подставив сюда выражения для || и || через координаты векторов и получим формулу (5).

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:

Утверждение 10 непосредственно следует из формулы а утверждение 20 — из определения скалярного произведения. Докажем Утверждения 30 и 40.

Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов так:

Используя формулу (2), получаем

Утверждение 30 доказано.

Докажем теперь утверждение 40. Вектор имеет координаты {kx1; ky1}, поэтому

Замечание

Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,

Задачи

1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами:

1040. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами:

1041. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 2, || = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

1042. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:

1043. К одной и той же точке приложены две силы , действующие под углом 120° друг к другу, причём . Найдите величину равнодействующей силы .

1044. Вычислите скалярное произведение векторов и , если:

1045. Докажите, что ненулевые векторы {х; у} и {-у; х} перпендикулярны.

1046. Докажите, что векторы + и - перпендикулярны, если и — координатные векторы.

1047. При каком значении х векторы и перпендикулярны, а) {4; 5}, {x; -6}; б) {x; -1}, {3; 2}; в) {0; -3}, {5; x}?

1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В (-1; 5), С (3; 1).

1049. Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; √3), В (1; -√3) и .

1050. Вычислите | + | и | - |, если || = 5, |,

1051. Известно, что , ||=1, . Вычислите .

1052. Вычислите скалярное произведение векторов и , если || = 5, || = 2, .

1053. Вычислите скалярное произведение векторов и и где — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Применение скалярного произведения векторов к решению задач

1054. Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка М — середина отрезка ВС, поэтому . Отсюда получаем

или 4AM2 = АВ2 + АС2 + 2 АВ • АС • cos А. Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

1055. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и AA1, ВВ1 — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения , . Тогда поэтому

По условию задачи АA1 ⊥ BB1 и, следовательно, . Далее, = a2 cos С, = а2, = а2, поэтому равенство (6) принимает вид 0 = 5а2 cos С - 4а2. Отсюда получаем ∠C ≈ 36°52'.

1056. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Ответы к задачам

    1039. а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°.

    1040. а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°; д) 0°; е) 180°.

    1041. а) 3√2; б) 0; в) -3√2.

    1042. в) 0; г) а2.

    1043. 13.

    1044. а) -2,5; б) 0; в) 5.

    1047. а) x =7,5; в) х = 0.

    1048. cos В = 0, .

    1049. ∠A ≈ 60°, ∠B ≈ 21°47', ∠C ≈ 98°13'.

    1050. √129 и 7.

    1051. 3.

    1052. 13.

    1053. -5.


Рейтинг@Mail.ru