Геометрия
7-9 классы

Вопросы для повторения к главе X

1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.

2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?

3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

4. Объясните, как вводится прямоугольная система координат.

5. Что такое координатные векторы?

6. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

7. Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов?

8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

9. Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

10. Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

11. Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

12. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

13. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

14. Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.

15. Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.

16. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

17. Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.

18. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

19. Что такое угловой коэффициент прямой?

20. Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

21. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку М0 (x0; y0) и параллельных осям координат.

22. Напишите уравнения осей координат.

23. Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

24. Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Дополнительные задачи

988. Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы были коллинеарны:

989. Найдите координаты вектора и его длину, если:

990. Даны векторы

    а) Найдите координаты векторов

    б) Найдите

991. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками М1 (x1; 0) и М22; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |х1 - х2|.

992. Докажите, что треугольник АВС, вершины которого имеадт координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним.

993. Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).

994. Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:

    а) D (1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5);
    б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6).

995. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М, (-2; 4) и М2 (6; 8).

996. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.

997. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.

998. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2;-3), 13 (1; 4), С (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.

999. Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?

1000. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

    а) (х - 1)2 + (y + 2)2 = 25;
    б) х2 + (у + 7)2 = 1;
    в) х2 + у2 + 8х-4у + 40 = 0;
    г) х2 + у2 - 2х + 4у - 20 = 0;
    д) х2 + у2 - 4х - 2у + 1 =0.

1001. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.

1002. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:

    а) А (1;-4), В (4; 5), С(3;-2);
    б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2).

1003. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5), В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

1004. Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3х - 1,5y + 1 = 0 и 2х - у - 3 = 0, параллельны.

1005. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если:

    а) А (-2; 0), B (3; 2 1/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6);

    в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).

Применение метода координат к решению задач

1006. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

1007. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

1008. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM2 + СМ2) - (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же значение.

1009. Докажите, что медиану АА1 треугольника АВС можно вычислить по формуле Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

1010. Даны две точки А та В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:

    а) 2AM2 - ВМ2 = 2АВ2; б) 2 AM2 + 2ВМ2 = 6 АВ2.

1000. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

    а) (х - 1)2 + (y + 2)2 = 25;
    б) х2 + (у + 7)2 = 1;
    в) х2 + у2 + 8х-4у + 40 = 0;
    г) х2 + у2 - 2х + 4у - 20 = 0;
    д) х2 + у2 - 4х - 2у + 1 =0.

1001. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.

1002. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:

    а) А (1;-4), В (4; 5), С(3;-2);
    б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2).

1003. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5), В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

1004. Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3х - 1,5y + 1 = 0 и 2х - у - 3 = 0, параллельны.

1005. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если:

    а) А (-2; 0), B(3; 2 1/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6);

    в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).

Ответы на дополнительные задачи

    988. а) х = -0,5; б) не существует; в) х = -2; г) х = 2.

    989. а) {-8;-1}, √б5; б) {14; 4}, 2√53; в) {-21; 5}, √466; г) {6;-18}, 6√10.

    990. а) {9;-4}, {7;-3}, {1; 21}, {-4; 7}; б) 5, 10, √97, √58.

    991. Указание. Ввести вектор , отложить от начала координат вектор , равный и воспользоваться тем, что абсцисса точки А равна х2 — х1.

    993. Указание. Сначала доказать, что АВ = ВС.

    995. (5; 9).

    996. а) (-1; 9), (0; 2), (-4; 6); б) 5√2; в) 3√2, 4√2, 5√2.

    998. 40.

    999. (0; 8) или (-2; 2) или (-8; 0); три решения.

    1000. Окружности: а), б), г), д).

    1001. (х-3)2 + (y - 5)2 = 25.

    1002. а) ; б) (х - 3)2 + (у + 2)2 = 25.

    1003. а) 5х - 3у+16 = 0, х + 2у - 6 = 0, 6х - у + 10 = 0; б) 3х + 5у - 4 = 0, 2х - у - 7 = 0, х + 6у - 23 = 0; в) 3х + 5у - 17 = 0, 2х - у + 6 = 0, х + 6у - 10 = 0.

    1006. 19,5 см, √261см, или 12,5 см, √709 см, .

    1008. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 283.

    1009. Указание. На продолжении отрезка АА1 отложить отрезок А1А2, равный А А1. Далее воспользоваться задачей 953.

    1010. а) Окружность радиуса 2АВ с центром в точке В', симметричной точке В относительно точки А; б) окружность радиуса с центром в точке С, лежащей на отрезке АВ, причём


Рейтинг@Mail.ru