Геометрия
7-9 классы

       

Вопросы для повторения к главе VI

1. Что называется отношением двух отрезков?

2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1?

3. Дайте определение подобных треугольников.

4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

8. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

12. Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.

13. Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

14. Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

15. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

17. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Дополнительные задачи

604. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, АВ = 6 см, ВС- 9 см, С А = 10 см. Наибольшая сторона треугольника А1В1С1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А1В1С1.

605. Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 = а • b, где а и b — основания трапеции.

606. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK : ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.

607. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

608. На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника АО В с основанием АВ взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что AM < МС.

609. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что Докажите, что AD — биссектриса треугольника АВС.

610. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит сторону АС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если АВ = 10см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см.

611. Докажите, что медиана AM треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

612. Два шеста АВ и CD разной длины а и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что:

Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD.


Рис. 210

613. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, если:

а) , где ВМ и В1М1 — медианы треугольников;

б) ∠А = ∠A1, , где ВН и В1Н1 — высоты треугольников АВС и A1B1C1.

614. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.

615.* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и b.

616. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

617. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

618. Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

619. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что .

620. В треугольнике АВС (АВ≠ АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

621. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.

622. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что AK = 1/4 KD. Диагональ АС и отрезок В К пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см2.

623. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.

624. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

625. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см2. Найдите площадь трапеции ABCD.

626. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, если где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.

Задачи на построение

627. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А1В1С1, подобный треугольнику АВС, площадь которого в два раза больше площади треугольника АВС.

628. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна .

629. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

630. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Ответы к задачам

    604. А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 6,75 см.

    606. 7/8.

    607. 18 см, 12 см.

    608. Указание. Воспользоваться задачей 535.

    609. Указание. Воспользоваться задачей 535.

    610. 16,8 см, 14 см, см.

    612.

    613. Указание. Сначала доказать, что:

    а) ΔABM ∼ ΔA1B1M1; б)ΔABH ∼ ΔA1B1H1.

    614. DC = см. DB = 2√13 см, CB = см. Указание. Сначала доказать, что .

    615..

    619. Указание. Пусть точка В лежит между С и D. К треугольникам ABD и ACD дважды применить следствие 2 из первой теоремы п. 53.

    620. Указание. Воспользоваться задачей 535.

    621. .

    622. 60 см2.

    623. ∠C= 150°, ∠D = 30°.

    625. 18см2.

    626. Указание. Воспользова задачей 535.

    630. Указание. Воспользоваться задачей 1, п. 64.

Рейтинг@Mail.ru