Геометрия
7-9 классы

§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 206). Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.


Рис. 206

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Синус, косинус и тангенс угла, равного а, обозначаются символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке 206

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и А1В1С1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С1 и равными острыми углами А и А1. Треугольники АВС и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что , т. е. sin А = sin А1. Аналогично , т. е. cos А = cos А1, и т. е. tg A = tg А1.

Докажем теперь справедливость равенства

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = АВ2, поэтому sin2 А + cos2 А = 1.

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством1.

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°

Найдём сначала значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого ∠A = 30°, ∠B = 60° (рис. 207).


Рис. 207

Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то .

Но

.

С другой стороны,

Итак,

Из основного тригонометрического тождества получаем:

По формуле (4) находим:

Найдём теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (рис. 208).


Рис. 208

В этом треугольнике АС = ВС, ∠A = ∠B = 45°. По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2 = 2АС2 = 2ВС2, откуда AC = BC = .

Следовательно,

Составим таблицу значений sin α, cos α, tg α для углов α, равных 30°, 45°, 60°:

Задачи

591. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС =24, АВ = 25.

592. Постройте угол α, если: а) tg α = 1/2; б) α = 3/4; в) cos α = 0,2; г) cos α = 2/3; д) sin α = 1/2; e) sin α = 0,4.

593. Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 1/2; 6) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; r) cos α и tg α, если sin α = 1/2.

594. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b =10 см, β = 50°.

595. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12см, α = 42°.

596. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с = 24 см, а α = 35°.

597. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15.

598. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна 6; б) основание равно а.

599. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.

600. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)?


Рис. 209

601. Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.

602 Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

603. В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.

Ответы к задачам

    593. а) √3/2 и √3; б) √5/3 и √5/2; г) √15/4 и √15/15.

    594. а) , 90° - β, ; б) ≈ 8,39 см, 40°, ≈ 13,05см.

    595. а) b tg α, 90° - α, ; б) ≈ 11 см, 48°, ≈ 16 см.

    596. 90° - α, с sin α, с cos α; 55°, ≈ 14 см, ≈ 20 см.

    597. ; ≈ 19, ≈ 38°39', ≈ 51°21'.

    598. a) b2 sin α cos α; б) .

    599. 8 tg α cм2.

    600. ≈ 74 м.

    601. 60°, 120°, 60° и 120°.

    602. 60° и 30°.

    603. ≈ 72 см2.


1 Слово «тригонометрия» в переводе с греческого языка означает «измерение треугольников».


Рейтинг@Mail.ru