Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажем теорему о средней линии треугольника.

Теорема

Доказательство

Пусть MN — средняя линия треугольника АВС (рис. 195). Докажем, что MN || AC и MN = 1/2 AC.

Рис. 195

Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (∠B — общий ). поэтому ∠1 = ∠2 и Из равенства ∠1 = ∠2 следует, что MN || АС (объясните почему), а из второго равенства — что MN = 1/2 AC. Теорема доказана.

Пользуясь этой теоремой, решим следующую задачу:

Задача 1

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Решение

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА₁ и ВВ₁ и проведём среднюю линию А₁В₁ этого треугольника (рис. 196). Отрезок А₁В₁ параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А₁В₁ секущими АА₁ и ВВ₁. Следовательно, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:

Рис. 196

Но АВ = 2А₁В₁, поэтому АО = 2А₁О и ВО = = 2В₁О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Задача 2

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Решение

Пусть ΔАВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С, CD — высота, проведённая из вершины С к гипотенузе АВ (рис. 197). Докажем, что ΔABC ∼ ΔACD, ΔABC ∼ ΔCBD, ΔACD ∼ ΔCBD.

Рис. 197

Треугольники АВС и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (∠A — общий, ∠ACB = ∠ADC = 90°). Точно так же подобны треугольники АВС и CBD (∠B — общий и ∠ACB = ∠BDC- 90°), поэтому ∠A = ∠BCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и ∠A = ∠BCD), что и требовалось доказать.

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

Исходя из задачи 2, докажем следующие утверждения:

1⁰. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Действительно, ΔABC ∼ ΔACD (см. рис. 197), поэтому и, следовательно,

Практические приложения подобия треугольников

Задачи на построение

При решении многих задач на построение треугольников применяют так называемый метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник.

Рассмотрим пример.

Задача 3

Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Решение

На рисунке 198, а изображены два данных угла и данный отрезок. Требуется построить треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а биссектриса при вершине третьего угла равна данному отрезку.

Рис. 198

Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок A₁B₁ и построим треугольник А₁В₁С, у которого углы А, и B₁ соответственно равны данным углам (рис. 198, б).

Далее построим биссектрису угла С и отложим на ней отрезок CD, равный данному отрезку. Через точку D проведём прямую, параллельную А₁В₁. Она пересекает стороны угла С в некоторых точках А и В (см. рис. 198, б). Треугольник АВС искомый.

В самом деле, так как АВ || А₁В₁, то ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, и, следовательно, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. По построению биссектриса CD треугольника АВС равна данному отрезку. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Очевидно, задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 180°. Так как отрезок А,В, можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу (объясните почему), поэтому задача имеет единственное решение.

Измерительные работы на местности

Свойства подобных треугольников могут быть использованы при проведении различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим две задачи: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки.

Определение высоты предмета. Предположим, что нам нужно определить высоту какого- нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А₁С₁, изображённого на рисунке 199. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А, столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А,А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А₁С₁В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (∠C₁ = ∠C = 90°, ∠B — общий). Из подобия треугольников следует: откуда

Рис. 199

Измерив расстояния ВС₁ и ВС и зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А₁С₁ телеграфного столба. Если, например, ВС₁ = 6,3 м, ВС = 2,1 м, АС = 1,7 м, то

Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В (рис. 200). Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его.

Рис. 200

Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А₁В₁С₁, у которого ∠A₁ = ∠A, ∠C₁ = ∠C, и измеряем длины сторон А₁В₁ и А₁С₁ этого треугольника. Так как треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны (по первому признаку подобия треугольников), то , откуда получаем . Эта формула позволяет по известным расстояниям АС, А₁С₁ и А₁В₁ найти расстояние АВ.

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник А₁В₁С₁ таким образом, чтобы А₁С₁ : АС = 1 : 1000. Например, если АС = 130 м, то расстояние А₁С₁ возьмём равным 130 мм. В этом случае по этому, измерив расстояние А₁В₁ в миллиметрах, мы сразу получим расстояние АВ в метрах.

Пример

Пусть АС = 130 м, ∠A = 73°, ∠C = 58° (см. рис. 200). На бумаге строим треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы ∠A₁ = 73°, ∠C₁ = 58°, А₁С₁ = 130 мм, и измеряем отрезок А₁В₁. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.

О подобии произвольных фигур

Понятие подобия можно ввести не только для треугольников, но и для произвольных фигур. Фигуры F и F₁ называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F₁ так, что для любых двух точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М₁ и N₁ фигуры F₁ выполняется равенство где k — одно и то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F₁ оказывается сопоставленной какой- то точке фигуры F. Число к называется коэффициентом подобия фигур F и F₁.

Сопоставление точек подобных фигур хорошо знакомо нам из повседневного опыта. Так, при проектировании киноленты на экран каждой точке изображения на кинокадре сопоставляется точка на экране, причём все расстояния увеличиваются в одинаковое число раз.

На рисунке 201 представлен способ построения фигуры F₁, подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопоставляется точка М₁ плоскости так, что точки М и М₁ лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причём ОМ = k • ОМ₁ (на рисунке 201 k = 1/3).

Рис. 201

В результате такого сопоставления получается фигура F₁, подобная фигуре F. В этом случае фигуры F и F₁ называются центрально-подобными, а само описанное сопоставление называется центральным подобием или гомотетией.

Можно доказать, что для треугольников общее определение подобия равносильно определению, данному в п. 59.

Примерами подобных четырёхугольников являются любые два квадрата (рис. 202, а), а также два прямоугольника, у которых две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сторонам другого (рис. 202, б). Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах, а также фотографии одного и того же предмета, сделанные в разных увеличениях.

Рис. 202

Замечание

В п. 60 мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Из этого следует, что такое же утверждение справедливо для двух подобных многоугольников (чтобы доказать это, можно разбить многоугольник на треугольники).

Задачи

564. Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

565. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

566. Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см.

567. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

568. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

а) прямоугольника;
б) равнобедренной трапеции.

569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

570. Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.

571. В треугольнике АВС медианы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.

В задачах 572—574 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, С А = b, АВ = с, CH = h, AH = b_c, НВ = а_c.

572. Найдите: а) h, а и b, если b_c = 25, а_c = 16; б) h, а и b, если b_c = 36, а_c = 64; в) а, с и а_c, если b = 12, b_c = 6; г) b, с и bс, если а = 8, а_c = 4; д) h, b, а_c и b_c, если а = 6, с = 9.

573. Выразите а_c и b_c через а, b и с.

574. Докажите, что: a) ; б) .

575. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого утла.

576. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

577. В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

578. Используя утверждение 2⁰, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С выполняется равенство АС² + ВС² = АВ².

Решение

Пусть CD — высота треугольника АВС (см. рис. 197). На основании утверждения 2⁰, п. 65, имеем , или АС² = AD • АВ. Аналогично ВС² = BD • АВ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD + BD = АВ, получаем:

АС² + ВС² = AD • АВ + BD • АВ = (AD + BD) • АВ = АВ².

579. Для определения высоты столба АХСХ, изображённого на рисунке 199, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если ВС₁ = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 м?

580. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

581. Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 203. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС =165 см, ВС= 12 см, AD = 120 см, DE = 4,8 м, ∠1 = ∠2.

Рис. 203

582. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если АС = 42 м, А₁С₁ = 6,3 см, А₁В₁ = 7,2 см.

583. На рисунке 204 показано, как можно определить ширину ВВХ реки, рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ₁С₁. Определите ВВ₁, если АС = 100 м, АС₁ = 32 м, АВ₁ = 34 м.

Рис. 204

Задачи на построение

584. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂.

Решение

Проведём какой-нибудь луч AM, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и СВ, равные отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂ (рис. 205). Затем проведём прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечёт отрезок АВ в искомой точке X (см. задачу 556).

Рис. 205

585. Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2 : 5; б) 3 : 7; в) 4 : 3.

586. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

587. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

588. Постройте треугольник АВС по углу А и медиане AM, если известно, что АВ : АС = 2 : 3.

589. Постройте треугольник АВС по углу А и стороне ВС, если известно, что АВ : АС = 2 : 1.

590. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.

Ответы

564. 10см.

565. 5см.

566. 42см.

567. Указание. Провести диагональ данного четырёхугольника.

568. Указание. Воспользоваться задачей 567.

569. Указание. Сначала доказать, что середина боковой стороны трапеции лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей.

570. 6 см и 12 см.

571. 3S.

572. а) h = 20, а = 4√41, 5 = 5√41; б) h = 48, а = 80, b = 60; в) 0 = 12√3, с = 24, ас = 18; г) b = 8√3, с = 16, b_c = 12; д) h = 2√5, b = 3√5, a_c = 4, b_c = 5.

573.

574. Указание. а) Воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника. б) Воспользоваться задачей 573.

575. 32 мм, 18 мм.

576. 61 см.

577.

579. 3,15 м.

580. 6,936 м.

581. 6,12 м.

582. 48 м.

583. 72,25м.

586. Указание. Сначала построить треугольник, подобный искомому.

587. Указание. См. указание к задаче 586.

588. Указание. См. указание к задаче 586.

589. Указание. См. указание к задаче 586.

590. Указание. См. указание к задаче 586.